2. Функция

2.1. Понятие функции

Пусть заданы два множества Х и Y. Если каждому элементу хХ поставлен в соответствие один и только один элемент у У , обозначаемый f(х), и если каждый элемент уУ при этом оказывается поставлен в соответствие хотя бы одному элементу хХ, то говорится, что на множестве Х задана однозначная функция у = f(х). Множество Х называется областью ее определения, а множество Y - множество ее значений. Элемент хХ называется аргументом или независимой переменной, а элементы уY - значениями функции, или зависимой переменной..

Рис. 2.1.

Элементы х и у рассматриваемых множеств могут иметь совершенно произвольную природу. Если значениями функции являются не числа, а другие элементы, часто вместо слова “функция” употребляют слово “отображение”.

Для того, чтобы задать функцию f, надо знать:

1. Х - область определения (существования);

2. Y - область значений;

3. Закон соответствия, по которому определяется элемент уY, соответствующий хХ.

Пример 2.1. Вещественные, комплекснозначные и другие функции.

Пусть {x_n}- последовательность, тогда х_n=f(n).

D(f) = N; x_nRⁿ.

Над функциями, принимающими числовые значения (числовые функции), можно производить арифметические операции.

Пусть f и g - числовые функции, определенные на одном и том же множестве Х, а с - const и у = f(x), то

;

Если , ;

Выражения в правой части понимаются как функция, принимающая в каждой точке х значения: .

Определение 2.1. Функция f ограничена на множестве Х M > 0 :

Т.е. если , где

а) - ограничена сверху;

б) - ограничена снизу.

Будем говорить, что числовая функция f, определенная на множестве Х, принимает в точке наибольшее значение (наименьшее), если и будем писать

Иногда приходится иметь дело с , определенными на Х, значениями которых являются некоторые подмножества множества Y, т.е. каждому элементу ставится в соответствие некоторое множество и тем самым множество значений функции является совокупностью некоторых подмножеств множества Y. B этом случае говорят, что на множестве Х задана многозначная функция со значениями во множестве Y.

Определение 2.2. Пусть и Y - множество ее значений. Обозначим - полный прообраз элемента , т.е. . Тогда функция, определенная на Y и ставящая в соответствие каждому множество , называется обратной к и обозначается .

Рис. 2.2.

2.2. Способы задания функций.

1. Если функция задана выражением при помощи формулы, то говорят, что она задана аналитически, Для этого используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций, алгебраические действия и предельный переход.

Например, .

Здесь - это совокупность действий, которые нужно выполнить в определенном порядке над значениями аргумента х, чтобы получить соответствующее значение функции y (или, то же самое, ).

Примеры:

2. Функция Дирихле:

2. Функцию можно задавать таблично, т.е. для некоторых значений х указать соответствующие значения переменной y.

X	x₁	x₂	*...*	*x_i*	*...*	*x_n*
Y	y₁	y₂	...	y_i	...	y_n

Данные такой таблицы могут быть получены как экспериментально, так и с помощью математических расчетов.

Примерами табличного задания функций могут быть: логарифмические таблицы, таблицы тригонометрических функций.

3. Аналитический и табличный способы задания функций страдают отсутствием наглядности.

(*)

Рис. 2.3.

Графический способ задания функции - это геометрическое место точек на плоскости с координатами .

Рассмотрим пример (*), тогда ее грфическ Рис. 2..3.

2.3. Понятие функции нескольких переменных.

Рассмотрим вещественные функции, определенные на множестве -мерного евклидового пространства Rⁿ, значениями которого являются вещественные числа.

Эти функции обозначаются одним символом, например, или указывая аргумент - , или и называются функциями многих переменных. Здесь переменные называются независимыми переменными или аргументами. Совокупность рассматриваемых их значений - областью определения (областью существования).

Областью существования функции двух переменных (х и y), вообще говоря, представляет собой некоторое множество точек плоскости Oxy, т.е.

Аналогично для =3.

2.4. Неявные функции

( Один из способов задания функции )

Определение 2.3. Функция у от аргумента х называется неявной, если она задана уравнением вида: F(x,y) = 0, (4.1)

т.е. задана функция F(x,y) двух вещественных аргументов x и y (если они существуют), для которых выполняется (4.1).

Чтобы выразить функцию y в явном виде, достаточно разрешить (4.1) относительно y. Так как для данного значения аргумента х уравнение (4.1) может иметь несколько (и даже бесконечное множество) корней y, то в общем случае неявная функция является многозначной.

Например, функция у (у>0), определяемая уравнением, является неявной. Явно заданная функция будет иметь вид: .

2.5. Сложные функции

( Один из способов задания функции )

Пусть заданы две функции , , причем область задания функции F содержит область значений функции , тогда из этой области определения ставится в соответствие , где . Эта функция, определенная соответствием , называется сложной функцией, или суперпозицией функций и F.

Примеры:

1. ;

2. .

- явно задана.

2.6. Элементарные функции и их классификация

Функции:

- степенная;

- показательная;

- логарифмическая;

- тригонометрические;

- обратные тригонометрические;

- постоянная.

Называются основными элементарными функциями.

З а м е ч а н и е.

Всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных функций, называется просто элементарной функцией.

Элементарные функции обычно делят на классы:

1. Многочлены (полиномы) - это функции вида:

Если , то число называется степенью данного полинома.

При многочлен первой степени и называется линейной функцией;

2. Класс рациональных функций:

, где - полиномы;

3. Алгебраические функции:

Функции, заданные с помощью суперпозиций рациональных функций, степенных с рациональными показателями и четырех арифметических действий, называются алгебраическими.

Например:

2.7. Трансцендентные функции.

Элементарные функции, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными элементарными функциями.

Функции вида:

- показательная;

- логарифмическая;

- тригонометрические;

- обратные тригонометрические).

Самостоятельно.

1. Графики основных элементарных функций;

2. Свойства функций (нечетность, четность, периодичность).

3. Предел функции

3.1. Определение предела функции

Определение 3.1. Пусть функция f(х) определена на некотором интервале (а,в), кроме, быть может, точки х_о Î( а, в ). Число А называется пределом функции f(х) в точке х_о, т.е.

если " e > 0 $ d = d(e) > 0: "х Î ( а, в), удовлетворяющих условию

çх - х_оç < d,х ¹ х_о (3.1)

çf(x) - Aç < e. (3.2)

Рис. 3.1.

Таким образом, число А называется пределом функции f(х) в точке х_о A = , при х ® х_о тогда и только тогда, когда для любого (") e > 0 существует ( $) такая дельта окрестность d = d (e) > 0 точки х_о :

"х Î (а, в) : х Î O ( х_о , d), х ¹ х_о Þ f ( x ) Î O ( A, e ).

З а м е ч а н и е. Понятие предела, естественно, переносится на функции нескольких переменных.

Пусть f (х, у) - функция двух переменных, заданная на множество Х плоскости Оху.

Под окрестностью О_а,в точки М_о (а, в) (а и в - конечные) будем понимать внутренность любого прямоугольника {a₁ < х < b₁ , a₂ < у < b₂ }, построенного вокруг точки М_о (т.е. a₁ < а < b₁ , a₂ < в < b₂ ), из которого удалена сама точка М_о.

В таком утверждении можно записать

" e > o $ O_а,в : " M (х ,у ) Î O_а,в Þ ç f (x, y) - A ç < e.

При этом предполагается, что в любой О_а,в $ M (х,у ), в которых f (х, у) имеет смысл (предельная точка).

3.2. Односторонние пределы функции

Введем понятие левой и правой окрестности точки х_о - число.

Определение 3.2. Любой интервал = (a, x_o) (( = (x_о, b )), правым (левым) концом которого является точка х_о, назовем ее левой (правой) окрестностью.

Символически факт, что х принимает лишь значения, принадлежащие некоторой левой окрестности точки х_о, будем обозначать

х ® х_о - 0, х < х_о.

Аналогично х ® х_о + 0 , х > х_{о .}

Определение 3.3. Число А называется пределом функции слева, если

" e > 0 $ : " х Î CÇ Þ çf( x) - A ç < e.

И будем писать, где Х - область определения f (х).

Аналогично - предел функции справа.

З а м е ч а н и е. Можно, конечно, ограничиться рассмотрением левых d - окрестностей точки х_{о :} = (х_о - d, х_о ) , где d = d ( e ) > 0.

= (x_o , x_o + d), где d = d ( e ) > 0.

O(x_о - 0, d ) = { х: х_о - d < x £ х_о }, d > 0

O(х + 0, d ) = {х : х_о £ х < x_o + d }, d > 0.

Рис.3.2.

Пример 3.1.

Рис. 3.3.

Пусть f(х) = sgnх = ,

Опредеена для вех x ¹ 0.

Здесь , а .

Теорема 3.1. Для существования предела функции f(х) при х ® х_о (х_о - число)

Û f(х_о - о) = f(х_о + о).

Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть ,

тогда " e > о $ d = d(e) > о: çх -х_оç< d = > çf (х) ¹ A ç < e,

и следовательно $ = (х_о - d, х_о) и = ( x_о , x_о + d ) :

А = и А = .

Обратно, если существуют пределы А = f(x) и А = , то " e > 0 $ d₁ = d₁(e) и d₂ = d₂ (e) такие, что, если

х_о - d₁ < х < х_о и, соответственно, х_о < х < x_о + d₂ Þ

çf(х) - Aç < e

Возьмем d = min {d₁, d₂} Þ çf( x ) - A ½< e при çх -х_оç< d,

х ¹ х_о. И тогда, согласно определения 3.1.

Лемма 3.1. Если f(х) имеет предел в точке х_о, то существует окрестность этой точки (быть может, выброшенной точкой х_о), на которой функция ограничена.

Теорема 3.2. (Правило замены переменного для пределов функции)

Пусть существуют _o, f(х) ¹ у_о " х ¹ х_о и Þ при х ® х_о существует предел сложной функции F[f(x)] и

3.3. Свойства пределов функции

Пусть все функции, рассматриваемые ниже, определены на (а, в), кроме, быть может, фиксированной точки х_о Î (а, в), тогда верны следующие свойства:

1. Если j ( х ) £ ¦ ( х) £ y ( х ) и

А = = Þ = A.

2. Если ¦(х) = С (сonst) Þ ¦(x) = C .

3. Если cущ. Þ"с - const

4. Если существуют конечные пределы и , тогда:

а) ;

б) ;

в) = .

Все эти свойства доказываются одинаковым методом, основанным на соответствующих свойствах пределов последовательностей. Для доказательства этих свойств введем понятие бесконечно малых и бесконечно больших функций.

3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 3.4. Функция a = a(х) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) при х ® х_o, если

Лемма 3.2. Предел существует и равен А Û ¦ (х) = A + a (х),

где a (х) - бесконечно малая.

Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть , то, полагая ¦(х) - A = a (х), получим .

обратно, если ¦(х) = A + a(х) и .

Из леммы 3.2. следует, что если , то в некоторой окрестности О_хо знак f(х) (х Î C) совпадает со знаком числа А.

Определение 3.5. Функция f = f(x) называется бесконечно большой при х ® х_о, если "e > 0 $ d = d (e) > 0: ç¦(x)ç > e, "x : çx -x_oç< d, x < x_o. В этом случае будем писать .

Если "e > 0 $ d : ¦(х) > e ( ¦(х) < - e) "х : çх-х_о ç < d,

х ¹ х_о Þ , ( ).

По аналогии с конечными односторонними пределами определяются односторонние бесконечные пределы , .

З а м е ч а н и е. Величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой.

Пусть a = a (х), a (х) ¹ 0 при х ¹ х_оесть в бесконечно малой (или бесконечно большой) тогда бесконечно большая (бесконечно малая).

В дальнейшем будем использовать символические записи для любого числа а>0 :, , , , , .

Рассмотрим свойства бесконечно малых функций.

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых, определенная на общем множестве, есть величина бесконечно малая при х ® х_о.

2) Произведение ограниченной при х ® х_о функции на бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

2") Произведение конечного числа бесконечно малого при х ® х_оесть функция бесконечно малая.

3) [a( х ) ]ⁿ - ( n - целая положительная степень) a (х) - бесконечно малая тогда и [a (х) ]ⁿ - бесконечно малая.

4) Что касается отношения двух бесконечно малых

- может быть функция произвольного поведения.

Но с помощью действия деления можно сравнить между собой бесконечно малые.

Определение 3.6. a (х), b (х) бесконечно малые при х ® х_о имеют одинаковый порядок, если их отношение имеет конечный предел, отличный от нуля, т.е.=K¹ 0.