Тема: Исследование функций с помощью первой производной.

Рассматриваемые вопросы:

1. участки монотонности функции,

2. экстремумы (максимальные и минимальные значения) функции,

3. наибольшие и наименьшие значения функции на интервале.

Пример 1. Найти участки монотонности функции .

Решение:

Рассмотрим функцию f (x) = x²ln x.

Её производная такова:

Интервал возрастания функции можно найти из неравенства

x(2 ln x + 1) > 0.

При решении этого неравенства учтём, что в области определения функции x > 0, так что нужно решать неравенство 2 ln x + 1 > 0. Отсюда

Таким образом, функция f (x) возрастает на интервале (; + ).

Нетрудно видеть, что при x (0; ) выполняется обратное неравенство, так что на этом интервале функция убывает.

Рис. 1. График функции f (x) = x²ln x

Замечание 1. Если в задаче необходимо отыскать лишь точки экстремума, то рекомендуется не находить участки монотонности функции, а о наличии экстремумов в подозрительных точках судить по знаку второй производной.

Пример 2. Найти экстремум функции

Решение: Область определения функции X: .

Первая производная откуда получаем всего две точки, подозрительные на экстремум: и (В точках в которой первая производная не существует, экстремума быть не может по определению, т.к. они являются граничными точками).

Вторая производная откуда следует, что

,

Пример 3. Не проводя полного исследования, построить график функции

g(x) = x³ - 3x² - 9 x + 14

и найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале

Решение:

1). Функция g(x) — многочлен, а у всех многочленов область определения — вся вещественная ось: X: xÎR.

2). Производная данной функции равна g'(x) = 3x² - 6x - 9. Найдём интервалы возрастания функции, решая неравенство 3x² - 6x - 9 > 0. Корни квадратного трёхчлена — это и , значит, решением неравенства служит объединение интервалов . На каждом из этих интервалов функция g(x) возрастает.

Интервалы убывания задаются обратным неравенством g'(x) < 0, то есть

3x² - 6x - 9 < 0. Его решением служит интервал На этом интервале функция убывает.

	(-∞;-1)	-1	(-1;3)	3	(3;+∞)
	>0	0	<0	0	>0
y		max		min

3). Найдем экстремумы функции. В точке возрастание функции сменяется убыванием, значит, x₁ — точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно В точке убывание функции сменяется возрастанием, значит, x₂ — точка локального минимума. Значение функции в этой точке равно

4). Найдем наибольшее и наименьшее значение функции g(x). К значениям функции в точках экстремума добавим значения функции на концах интервала. Имеем: g(-2)=12; g(-1)=19; g(3)=-13; g(4)=-6.

Таким образом,

4). С учётом предыдущих пунктов схематически строим график функции g(x).

Рис.2. График функции g(x) = x³ - 3x² - 9x +14

Пример 4. Исследовать на экстремумы и монотонность функцию f (x) = x³e^x.

Решение:

1). X: x;

2). f(x)=0 при x=0;

3). Производная имеет вид f'(x) = 3x²e^x + x³e^x = x²e^x(3 + x).

Решая неравенство f'(x) > 0, получаем: x (- 3;0) (0; + );

при x = 0 функция, очевидно, непрерывна, так что f (x) возрастает на объединённом интервале, то есть при x (- 3; + ). Решение неравенства f'(x) < 0 даёт только один интервал (- ; - 3); на нём функция убывает.

	(-∞;-3)	-3	(-3;0)	0	(0;+∞)
	<0	0	>0	0	>0
y		min		-

4). Найдем экстремумы функции. В точке убывание функции сменяется возрастанием, значит, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно

Рис.3. График функции f (x) = x³e^x

Пример 4. Не проводя полного исследования, построить график функции

Решение.

1. X: xÎR;

2.

3. Найдем участки монотонности функции и экстремумы функции.

Точками, подозрительными на экстремум будут являться:

а) точки, в которых т.е. и ,

б) точки, в которых не существует, т.е.

	(-∞;-1)	-1	(-1;0,5)	0,5	(0.5;5)	5	(5;+∞)
	<0	0	>0	0	<0	0	>0
Y		min		max		min

Таким образом, функция убывает при и возрастает при

- острый минимум, - гладкий минимум.

Рис.4. График функции

Пример 6. Имеется 480 м проволоки. Этой проволокой требуется огородить в три ряда прямоугольный участок земли так, чтобы площадь участка была наибольшей. Найти длину и ширину такого участка.

Решение.

Чтобы решить задачу, площадь участка нужно предоставить как функцию одного аргумента, например как функцию длины участка. Обозначим длину участка через х. Выразим через х ширину участка у.

Т.к. периметр участка равен 480м : 3 = 160м, то . В таком случае площадь участка S(x)=(80 – x)×x (м²).

Область определения полученной функции S(x) представляет собой интервал (0;80), т.к. x>0 и 80 – x >0. Находим наибольшее значение функции S(x): S(x)=80x – x²; S’(x)=80 – 2x; 80 – 2x=0; x=40.

На интервале (0;40) S’(x)>0, значит, функция возрастает. На интервале (40;80) S’(x)<0, и, значит, функция убывает.

+ – S’(x)

.

Следовательно, при х=40 S(x) имеет максимум.

Итак, прямоугольный участок будет иметь наибольшую площадь, если его длина х= 40м и ширина у = 80м – 40м = 40м (участок в этом случае имеет форму квадрата).

Пример 7. Требуется изготовить из жести закрытый сверху и снизу цилиндрический бак вместимостью 60 л. При каких размерах бака на его изготовление пойдёт возможно меньше материала?

Решение.

Требуется, чтобы полная поверхность бака была наименьшей. Обозначим радиус бака через х и выразим полную поверхность бака.

Высоту бака h находим из равенства p×х²×h = 60(дм³); .

Полная поверхность . Область определения функции S(x) – интервал (0; +∞).

=0 .

Легко видеть, что на интервале (0;) S’(x)<0, а на интервале (;+∞) S’(x)>0. При функция S(x) принимает наименьшее значение.

При этом .

Ответ: Радиус основания дм, высота дм. Поверхность бака будет наименьшей, когда высота его равна диаметру основания.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [- 1;4].

Решение:

Поскольку знаменатель дроби f (x) положителен при всех x, функция непрерывна на всей оси Ox. Поэтому все её критические точки — стационарные. Найдём производную:

f'(x) = = .

Очевидно, что производная обращается в 0 только в одной точке x = 0; эта стационарная точка лежит на заданном отрезке [- 1;4].

Вычисляем значения функции в этой стационарной точке и в концах отрезка:

f (- 1) = - 0.2; f (0) = - 0.75; f (4) =0.65.

Выбирая из этих значений наибольшее и наименьшее, получаем ответ:

f_max = f (4) = 0.65; f_min = f (0) = - 0.75.

2. Найдите интервалы возрастания и убывания, а также точки локального экстремума функции f (x) = x³ - 6x² + 5.

Производная равна f'(x) = 3x² - 12x = 3x(x - 4). Неравенство 3x(x - 4) > 0 имеет решение x (- ;0) (4; + ); на этих двух интервалах f (x) возрастает. Неравенство 3x(x - 4) < 0 имеет решение x (0;4); на этом интервале f (x) убывает. Следовательно, точка x = 0 — точка локального максимума, а точка x = 4 — точка локального минимума.

Ответ: Интервалы возрастания: (- ;0) и (4; + ); интервал убывания: (0;4); точка локального максимума: x = 0, точка локального минимума: x = 4.

3. Найдите стационарные точки функции f (x) = x⁴ - 2x² + 3 и определите наличие в них локального экстремума.

Решение:

Найдём производную: f'(x) = 4x³ - 4x = 4x(x² - 1); стационарные точки задаются уравнением 4x(x² - 1) = 0, то есть это точки x = 0 и x = ±1. Вторая производная равна f''(x) = 12x² - 4. Её значение в стационарных точках: f''(0) = - 4 < 0; f''(±1) = 8 > 0. Следовательно, в точке x = 0 — локальный максимум, а в точках x = 1 и x = - 1 — локальный минимум.

Ответ: Имеется три стационарные точки: -1, 0 и 1; -1 и 1 — точки локального минимума, а 0 — точка локального максимума.

4. Окно имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом, периметр фигуры окна равен 6 м. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало максимум света? (см. рис.)

Решение.

Требуется, чтобы площадь окна была наибольшей. Обозначим основание окна через х и выразим площадь окна через х. Чтобы найти h, воспользуемся равенством ; . Отсюда площадь окна .

Чтобы найти область определения функции S(x), учитываем, что x>0 и h>0, т.е. , , .

Область определения функции S(x) – интервал (0; ):

; ; . Легко проверить, что при функция имеет наибольшее значение. При этом .

Основание окна должно быть равно м, высота прямоугольной части окна равна м (высота прямоугольной части окна в два раза меньше основания окна).

Упражнения.

Упражнение 1. Найдите наибольшие и наименьшие значения функций на заданных отрезках:

а) f (x) = x⁴ - 4x³ + 4x² - 5 на отрезке [- 1;3];

б) f (x) = на отрезке [1;e];

в) f (x) = cos x + x sin x на отрезке [- ;].

Ответы: а) f_max = f (- 1) = f (3) = 4; f_min = f (0) = f (2) = - 5;

б) f_max = f () = ; f_min = f (1) = 0;

в) f_max = f (- ) = f () = ; f_min = f (- ) = f () = - 1.

Упражнение 2. Найдите интервалы возрастания и убывания и точки локальных экстремумов функций:

а) f (x) = x⁴ - 8x² + 1; б) f (x) = ; в) f (x) = .

Ответы: а) интервалы возрастания: (- 2;0) и (2; + ); интервалы убывания: (- ; - 2) и (0;2); точка локального максимума x = 0; точки локального минимума x = ±2;

б) интервалы возрастания: (- ; - 2 - ) и (- 2 + ; + ); интервалы убывания: (-2-;-2) и (-2;-2+); точка локального максимума x = - 2 - ; точка локального минимума x = - 2 + ;

в) интервал возрастания: (1; + ); интервалы убывания: (0;) и (;1); точка локального минимума x = 1; точек локального максимума нет.

Упражнение 3. Найти стационарные точки функций и исследовать их на наличие локального экстремума:

а) f (x) = x³ - 4x + 2; б) f (x) = ; в) f (x) = x³ln x.

Ответы: а) - — точка локального максимума; — точка локального минимума;

б) -2 - 2 — точка локального максимума; -2 + 2 — точка локального минимума;

в) — точка локального минимума; точек локального максимума нет.