Тема: Непосредственное интегрирование

Для успешного усвоения темы необходимо знать таблицу основных интегралов:

Таблица основных интегралов

Степенные функции.

1.

2. .

Показательные функции.

3.

4.

Тригонометрические функции.

5.

6.

7.

8.

Дробно-рациональные функции.

9.

10.

11.

12.

Иррациональные функции.

13.

14.

15.

Занятие №1.

Примеры старайтесь решать самостоятельно!

Пример 1. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Применяем формулу (1) , где .

Получаем:

Пример 2. Найти интеграл .

Решение.

Подынтегральная функция - это дробь . Запишем ее в виде степенной функции, а именно, . Затем используем формулу (1), при . Получаем: .

Пример 3. Найти интеграл .

Решение.

В подынтегральной функции разделим почленно числитель на знаменатель. Затем воспользуемся неопределенного интеграла, а также формулой (1), преобразовав предварительно , если нужно подынтегральную функцию к виду . Получаем:

=

Замечание. При вычислении интеграла от суммы функций сумму произвольных постоянных, которая при этом получается, заменяют одной произвольной постоянной и обозначают ее буквой С

Пример 4. Найти интеграл

Решение.

Используя формулу (3), где a=3, получим:

Пример 5. Найти интеграл

Решение.

Этот интеграл не является табличным. Преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу тригонометрии , затем используем формулу (6) . Получим: .

Пример 6. Найти интеграл .

Решение.

По формуле (9), где получаем: .

Пример 7. Найти интеграл .

Решение.

По формуле (13) , где получаем: .

Пример 8. Найти интеграл .

Решение.

По формуле (12), где получаем: .

Пример 9. Найти интеграл .

Решение.

Этот интеграл не является табличным. Преобразуем подынтегральную функцию, используя формулы тригонометрии Получим:

.

Пример 10. Найти интеграл .

Решение.

Этот интеграл не является табличным. Преобразуем числитель следующим образом: , затем разделим числитель на знаменатель почленно. Получим:

Замечание. Прибавление и вычитание в числителе подынтегральной функции некоторой константы - это преобразование, часто применяемое при нахождении интегралов. Например:

Задачи для самостоятельного решения (с проверкой решения)

Задача 1. Найти интеграл .

Решение.

Задача 2. Найти интеграл .

Решение.

Задача 3. Найти интеграл .

Решение.

Задача 4. Найти интеграл .

Решение.

Задача 5. Найти интеграл .

Решение.

Задача 6. Найти интеграл .

Решение.

Задача 7. Найти интеграл .

Решение.

Задача 8. Найти интеграл .

Решение.

Задача 9. Найти интеграл .

Решение.

Занятие №2. Продолжение темы. Интегрирование с помощью подведения функции под знак дифференциала.

Напомним некоторые теоретические положения:

А). Пусть требуется найти интеграл (1)

Так как (2)

где - функция, дифференцируемая на некотором интервале , то

  (3)

где . Если интеграл табличный, то в силу свойства 4 известен и интеграл , то есть, если, , то . (4)

Таким образом, интеграл (1) находим, используя преобразование (2), которое называют подведением функции под знак дифференциала.

Заметим, что внести функцию под знак дифференциала означает написать под знаком дифференциала ее первообразную. Например:

В). Пусть требуется найти интеграл , где . Очевидно, что , где ,тогда

где .

Далее рассуждаем так же, как в случае преобразования (3.)

(здесь .). Таким образом, если , то (4)

Преобразование (4) называют подведением линейной функции под знак дифференциала.

Рассмотрим примеры

Пример 1. Найти интеграл .

Решение.

Используем преобразование (3). Внесем функцию под знак дифференциала, затем воспользуемся формулой (4) и свойством 4, где .

Получим:

.

Пример 2. Найти интеграл .

Решение.

Используем преобразование (3). Внесем функцию под знак дифференциала, затем воспользуемся формулой (1), где

Получим: .

Пример 3. Найти интеграл .

Решение.

Используемся преобразованием (3). Внесем функцию под знак дифференциала ( ), затем воспользуемся формулой (3).

Получим:

Пример 4. Найти интеграл .

Решение.

Используем преобразование (3). На первом шаге под знак дифференциала подведем функцию x²: , затем используем формулу (15)

Тогда .

Пример 5. Найти интеграл .

Решение.

Используем преобразование (4).Внесем линейную функцию под знак дифференциала: Далее воспользуемся формулой (5):

Пример 6. Найти интеграл .

Решение.

.

Пример 7. Найти интеграл .

Решение.

.

Пример 8. Найти интеграл .

Решение.

.

Задачи для самостоятельного решения

Старайтесь решить сами!

Задача 1. Найти интеграл

На первом шаге использовано преобразование дифференциала: .

На втором шаге использована формула (6).

Решение.

Задача 2. Найти интеграл

Решение.

Задача 3. Найти интеграл

Решение.

Задача 4. Найти интеграл .

Решение.

Задача 5. Найти интеграл

Решение.

Задача 6. Найти интеграл

Решение.

Задача 7. Найти интеграл

Решение.

Задача 8. Найти интеграл

Решение.

Задача 9. Найти интеграл .

Решение.

Задача 10. Найти интеграл .

Решение.

Задача 11. Найти интеграл .

Решение.

Задача 12. Найти интеграл

Решение.

Задача 13. Найти интеграл

Решение.

Возврат к модулю 3.

Возврат к теории

Решения.

Z1. Решение .

Z2. Решение.

.

Z3.Решение.

Z4.Решение.

Z5.Решение. .

Z6.Решение. .

Z7.Решение. .

Z8.Решение. .

Z9.Решение.

Z11.Решение.

.

Z12.Решение.

.

Z13.Решение.

.

Z14.Решение.

Z15.Решение.

Z16.Решение.

.

Z17.Решение.

.

Z18.Решение.

Z19.Решение.

.

Z110.Решение.

Z111.Решение.

Z102.Решение. .

Z103.Решение:

.