Практическое занятие №1

Тема: Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Напомним основные положения теории:

Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида

f( = 0, (1)

где у = у(х) – неизвестная функция; - её производная.

или через дифференциалы

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (2)

Если уравнение (1) представимо в виде

(3)

то оно называется дифференциальным уравнением 1-го порядка, разрешенным относительно производной.

Обший интеграл и общее решение уравнения (1)-(2) записываются соответственно в виде

F( x, y, C ) = 0 (4)

(5)

где С = сonst.

В том случае, если заданы начальные условия

y = y₀ при x = x₀ (6)

то с их помощью определяется константа C. Подставив ее значение в (5), находим частное решение уравнения (5).

Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка:

Найти частное решение дифференциального уравнения (1-3), удовлетворяющее заданным начальным условиям (6).

Уравнение вида

(7)

где и - заданные функции, зависящие только от x , и - заданные функции, зависящие только от y, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными .

Общий интеграл уравнения (7) имеет вид

(8)

Пример 1. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям y(х₀) = 0 при х₀ = 2.

Решение. Умножим обе части уравнения на y(x₂ – 4). Получим уравнение с разделёнными переменными

Общий интеграл этого уравнения

Так как

то имеем =

Найдём частное решение. Подставляя значения y = 0 и x = 2, заданные начальными условиями в общий интеграл уравнения получим C = 1, и, следовательно, искомое частное решение имеет вид

= .

Примеры для самостоятельного решения.

1. Уравнения с разделяющимися переменными.

Проинтегрировать следующие уравнения

Найти частные решения удовлетворяющие заданным начальным условиям.

1., у = 1 при х = 0

2. , у = - 1 при х = 0

3. , у = 2 при х = 0

4. , у = 0,5 при х = 1

5. , у = - 1 при х = 0

6. , у = 1 при х = 1

7. , у = 1 при х = 0

8. , у = 1 при х = 0

9. , у = 1 при х = 0

10. , у = 1 при х = 2

Продолжение темы.

- Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида где -однородная функция, т.е для любого вещественного, или , где M(x,y) и N(x,y) – однородные функции одной и той же степени. Для решения однородного уравнения используют замену переменной y = t x , в результате которой получается уравнение с разделяющимися переменными

Пример 2. Решить уравнение

xdy = (x + y)dx

Это уравнение – однородное. Полагаем y = tx. Тогда dy = tdx + xdt. Подставляя в уравнение получим

x(x dt + t dx) = (x + tx) dx x dt = dx

Решаем полученное уравнение с разделяющимися переменными

Возвращаясь к старому переменному y получим y = x (ln |x| + C ). Кроме того имеется решение x = 0, которое было потеряно при делении на x

- Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида

(9)

где P(x) и Q(x) - заданные непрерывные функции.

Для решения уравнения производится замена y = uv , где u = u(x) и v = v(x) - новые неизвестные функции. Имеем y¢ = u¢ v + v¢ u и уравнение (9) приводится к виду

( u + u¢ P(x) ) + v ¢ u = Q(x)

Будем искать решение дифференциального уравнения (), удовлетворяющее условию u + u¢ P(x) = 0 . Тогда уравнение (12) будет эквивалентно следующей системе уравнений

каждое из которых есть уравнение с разделяющимися переменными .

Пример 3. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x=1.

Решение. Замена y = uv приводит к уравнению

или

Отсюда получаем систему уравнений

Интегрируя первое уравнение системы находим

Подставляя найденную функцию u во второе уравнение системы, имеем

откуда попучаем общее решение данного уравнения

Подставляя значения y = 1 и x = 1, заданные начальными условиями в общее решение уравнения получим C = 1, C = 2, и искомое частное решение имеет вид

Примеры для самостоятельного решения.

2. Однородные уравнения.

Проинтегрировать следующие уравнения

1. . 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Дополнительные упражнения:

1)	;	2)	;
3)	;	4)	;
5)	;	6)	;
7)	;	8)	;
9)	;	10)	.
11)	;	12)	;
13)	;	14)	;
15)	;	16)	;

К модулю 4

К теории

Применения

Практическое занятие №2

Тема: Дифференциальные уравнения второго порядка.

Дифференциальным уравнением второго порядка называется соотношение

(1)

или, если его можно разрешить относительно , то

(2)

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция

(3)

зависящая от двух произвольных постоянных и такая, что она удовлетворяет уравнению при любых значениях постоянных и .

Всякая функция получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных и называется частным решением. График частного решения назывался интегральной кривой. Для уравнения вида (1-2) начальные условия задаются следующим образом

при (4)

Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка допускает следующую геометрическую интерпретацию: найти интегральную кривую уравнения ,проходящую через заданную точку плоскости с заданным тангенсом угла наклона касательной .

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка

(5)

где р и q – постоянные действительные числа. Квадратное уравнение называется характеристическим уравнением для (7). В общем случае оно имеет два корня и . При этом

Если - действительные числа, причем и общеее решение уравнения (7) имеет вид

(6)

Пример 1. Решить уравнение

Его характеристическое уравнение имеет вид . Корни характеристического уравнения , . Общее решение уравнения запишется в виде

Если - действительные числа и и общеее решение уравнения (7) имеет вид

или (7)

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Его характеристическое уравнение и корни . Следовательно, общее решение уравнения имеет вид .

3. Если - комплексные числа вида , , где Общее решение уравнения запишется в виде

(8)

Пример 3. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям при .

Решение. Корни характеристического уравнения

равны . Следовательно общее решение имеет вид

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Прежде всего найдем .

Используя данные начальные условия имеем

Таким образом, искомое частное решение есть

Неоднородное линейное уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

(1)

Общее решение неоднородного уравнения (1) представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения у* и общего решения соответствующего однородного уравнения, т.е.

(2)

где у – общее решение неоднородного уравнения.

Рассмотрим несколько способов нахождения частного решения неоднородного уравнения

1. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид



а) Пусть . В этом случае частное решение у* представляет собой многочлен той же степени, что и многочлен f (x), т.е.

(4)

Пример 1. Найти частное решение уравнения

Так как в рассматриваемом случае , то частное решение будем искать в виде .

Имеем и таким образом

Отсюда

Искомое частное решение имеет вид

Найдем общее решение данного уравнения. Соответствующее однородное уравнение имеет вид

Его характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, общее решение однородного уравнения запишется так

и общее решение неоднородного уравнения имеет вид

б) Пусть . В этом случае частное решение уравнения (1) ищется в виде

(5)

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Корни характеристического уравнения равны . Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

Частное решение у* ищем в виде

, тогда . Поэтому

или

Отсюда

Таким образом, и общее решение данного уравнения

в) Пусть , т.е. уравнение имеет вид . В этом случае решение легко может быть найдено непосредственным интегрированием.

Пример 3. Найти общее решение уравнения

Действительно, имеем

1. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид , где - многочлен степени n.

а) α не является корнем характеристического уравнения В этом случае частное решение неоднородного уравнения ищется в виде

(7)

Пример 4. Найти общее уравнение

Имеем соответствующее однородное уравнение . Корни характеристическое уравнение равны . Общее решение однородного уравнения запишется в виде

В нашем случае α = 1 и не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение неоднородного уравнения ищется в виде

тогда имеем

и, следовательно, после подстановки в уравнение имеем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х получим

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

и общее решение данного уравнения

б) если число является корнем характеристического уравнения, то в этом случае частное решение неоднородного уравнения ищется в виде

(13)

Пример 5. Найти общее решение уравнения

Характеристические корни соответствующего однородного . Общее решение однородного уравнения

и совпадает с одним из корней характеристического уравнения. Поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде .

Тогда ,

Имеем или и следовательно, .

Общее решение данного уравнения имеет вид

3. Пусть правая часть уравнения имеет вид

где и - многочлены степеней n и m - соответственно.

а) если числа - не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения () имеет вид

(14)

где и - многочлены степени р, и степень р определяется как наибольшее из чисел m и n.

Пример 7. Найти общее решение уравнения

В данном случае .

Для соответствующего однородного уравнения , корни характеристического уравнения будут . Общее решение однородного уравнения имеет вид . Комплексные числа не являются корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

Тогда

и имеем

Приравнивая соответствующие коэффициенты при и в обеих частях равенства, получим систему уравнений, для определения неизвестных А и В

Имеем частное решение

Тогда общее решение данного уравнения имеет вид

б) В случае, когда числа являются корнями характеристического уравнения, то общее решение неоднородного уравнения определяется следующим образом

(15)

Пример 9. Найти общее решение уравнения

Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид . Его корни равны и числа совпадает с корнями характеристического уравнения. Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде Для упрощения выкладок обозначим