Практическое занятие:

Тема: Вычисление пределов функций с помощью правила Лопиталя.

Правило 1. Неопределенность типа .

Правило Лопиталя: предел отношения функций, стремящихся одновременно к бесконечности (являющихся одновременно бесконечно большими), равен пределу отношения их производных.

1. ==

=.

2. ====0.

3.

=

Правило 2. Неопределенность типа .

Правило Лопиталя: предел отношения функций, стремящихся одновременно к нулю (являющихся одновременно бесконечно малыми), равен пределу отношения их производных.

1. =.

2.

3.

= =3.

Правило 3. Неопределенность типа

Если при вычислении получается неопределенность типа , то можно использовать правило Лопиталя, преобразовав предварительно выражение следующим образом:

или же .

1.

=

2.

=

Правило 4. Неопределенность типа

Если при вычислении получается неопределенность типа , то следует преобразовать разность функций к виду , затем раскрыть неопределенность типа .

Если , то получается неопределенность типа (), которая раскрывается по правилу 3.

При раскрытии неопределенности типа можно также воспользоваться приведением разности к общему знаменателю с дальнейшим получением неопределенности типа или .

1.

=

2. =====

==.

3.

=

Правило 5. Неопределенность типа , и

Если при вычислении получается неопределенность одного из следующих типов , , , то можно использовать правило Лопиталя, преобразовав предварительно выражение следующим образом:

,

где вычисляется по правилам 1-4.

1.

.

Ответ:

2.

Ответ:

3.

.

Ответ:

4.

.

Ответ:

5.

Ответ:

Замечание 1. Подчеркнем, что правило Лопиталя предполагает существование предела отношения производных, поэтому бессмысленно пытаться применить это правило к раскрытию, например, такой неопределенности:

и предела не существует.

В то же время эта неопределенность легко раскрывается элементарными методами:

Замечание 2. Правилом Лопиталя нельзя пользоваться, если предел не содержит неопределенностей и .

Например, очевидно, что, а после преобразования по правилу Лопиталя

Решить самостоятельно