Интегрирование рациональных дробей

Практическое занятие.

ТЕМА: Интегрирование рациональных дробей.

Внимание! При изучении одного из основных приемов интегрирования: интегрирования рациональных дробей – требуется для проведения строгих доказательств рассматривать многочлены в комплексной области. Поэтому необходимо изучить предварительно некоторые свойства комплексных чисел и операций над ними.

Интегрирование простейших рациональных дробей.

Если P(z) и Q(z) – многочлены в комплексной области, то - рациональная дробь. Она называется правильной, если степень P(z) меньше степени Q(z), и неправильной, если степень Р не меньше степени Q.

Любую неправильную дробь можно представить в виде: ,

где

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – многочлен, степень которого меньше степени Q(z).

Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.

Определение 5. Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов:

1) , 2) , 3) , 4) .

Выясним, каким образом они интегрируются.

3) (изучен ранее).

Теорема 5. Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей (без доказательства).

Следствие 1. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го типа:

Пример 1.

Следствие 2. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го и 2-го типов:

Пример 2.

Следствие 3. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го типа:

Пример 3.

Следствие 4. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го и 4-го типов:

Пример 4.

Для определения неизвестных коэффициентов в приведенных разложениях поступают следующим образом. Левую и правую часть разложения , содержащего неизвестные коэффициенты, умножают на Получается равенство двух многочленов. Из него получают уравнения на искомые коэффициенты, используя, что:

1. равенство справедливо при любых значениях Х (метод частных значений). В этом случае получается сколько угодно уравнений, любые m из которых позволяют найти неизвестные коэффициенты.

2. совпадают коэффициенты при одинаковых степенях Х (метод неопределенных коэффициентов). В этом случае получается система m – уравнений с m – неизвестными, из которых находят неизвестные коэффициенты.

3. комбинированный метод.

Пример 5. Разложить дробь на простейшие.

Решение:

Найдем коэффициенты А и В.

1 способ - метод частных значений:

2 способ – метод неопределенных коэффициентов:

Ответ:

Интегрирование рациональных дробей.

Теорема 6. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Доказательство.

Представим рациональную дробь в виде: . При этом последнее слагаемое является правильной дробью, и по теореме 5 ее можно представить в виде линейной комбинации простейших дробей. Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S(x) и простейших дробей, первообразные которых, как было показано, имеют вид, указанный в теореме.

Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.

Пример 1. Найти интеграл

Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью. Разложение на неприводимые сомножители знаменателя имеет вид Это означает, что разложение подынтегральной функции в сумму простейших дробей имеет следующий вид: