РОЗДІЛ І

ПЕРЕДМОВА

до другого видання

Посібник складений у відповідності з діючою програмою. Це друге видання навчального посібника і вперше українською мовою. У порівнянні з першим виданням російською мовою посібник підлягає значної переробки та доповнений новими розділами.

Нове видання посібника доповнене новими задачами з усього курсу, кількість яких збільшено у два рази. Ці задачі можна використовувати на практичних заняттях, а також при складанні самостійних і контрольних робіт. Крім того, написані нові розділи: багатомірні випадкові величини та випадкові вектори; закони розподілу функцій випадкових аргументів; характеристичні та твірні функції..

Посібник, призначений для тих, хто вивчає математику для економістів і допоможе опанувати основи теорії та набути навичок розв'язування прикладних задач, виробити ймовірнісно-статистичне мислення та інтуїцію. А при початковому ознайомленні з курсом необхідно, насамперед, засвоїти основні поняття та розглянути якомога більше прикладів і задач. Їх, добірку подано в цьому посібнику після кожного розділу. Розв'язування наведених у посібнику вправ та завдань потребує неформального опанування матеріалу.

Викладання математики в університеті немислиме без історичних довідок і згадування імен математиків, які зробили той чи інший внесок у науку, іменами яких названі теорії, теореми, формули, задачі. Тому одним із засобів поліпшення викладання математики є використання елементів історизму на лекціях.

Багаторічний досвід викладацької роботи авторів показав, що насичення лекцій відомостями з історії становлення й розвитку математики пробуджує у студентів інтерес до науки, поглиблює знання, формує світогляд. До посібника включено, насамперед, біографії тих математиків, іменами яких названо математичні теорії, теореми, критерії, формули, задачі, методи та інші різноманітні математичні поняття, а також учених, які зробили певний внесок у розвиток теорії ймовірностей та математичної статистики. Використано довідкову, бібліографічну літературу, видану українською та російською мовами: " Бібліографічний словник діячів у галузі математики" Бородін О.І. , Бугай А.С. .

Навчальним посібником можуть користуватися як студенти економічних факультетів університетів, так і других вищих закладів економічного та технічного профілю.

Автори, користуючись нагодою, висловлюють вдячність Румянцеву М.В. і Александрову І.О. за ретельний перегляд рукопису, за обговорення й зауваження, та за редакційні поради щодо рукопису.

Автори будуть вдячні усім, хто в тій чи іншій формі висловить свою думку стосовно змісту книги та стилю викладу матеріалу.

ПЕРЕДМОВА

до першого видання

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов экономических и учетно-финансовых факультетов высших учебных заведений по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика". Поэтому примеры и упражнения взяты из социально-экономической сферы.

В наше время, когда происходит бурный процесс математизации наших знаний, нельзя обойтись без точных количественных методов описания самых разнообразных процессов. Современная организация производства и торговли, банковского дела и экономики, биология и медицина и т.д. требуют точности и ясности изложения. Научное изложение должно быть кратким и вполне определенным. Без этого требования не может быть науки как системы знаний. Математическая символика позволяет автоматизировать проведение тех действий, которые необходимы для получения выводов, сжимать запись информации, делать ее обозримой и удобной для дальнейшей обработки.

Сейчас в высшей школе в перечень дисциплин экономических специальностей все больше и больше включается математическая экономика. Переход к рыночной экономике обусловил необходимость подготовки специалистов, владеющих аппаратом анализа и выбора экономических вариантов на основе математико-статистических исследований, которые реализуются при помощи программного обеспечения на ЭВМ.

Пособие состоит из двух частей. Первая, которая включает основы теории вероятностей, раскрывает аксиоматическое построение теории вероятностей, на основе которого ведется изложение теории случайных событий и их вероятностей; случайные величины, их распределения и числовые характеристики; предельные теоремы теории вероятностей. Во второй части рассмотрены элементы математической статистики и некоторые примеры ее применениям в экономических исследованиях.

Авторы благодарны рецензентам за сделанные замечания, которые в значительной мере способствовали улучшению структуры и способа изложения.

Вступ

Теорія ймовірностей та математична статистика, як самостійний розділ математики для економістів (прикладний розділ математики) є порівняно молодим. Разом із тим треба віднести початок застосування математичних методів до економічних питань на початок виникнення політичної економії та математичного аналізу. Багатство та різноманітність застосування теорії ймовірностей привертають увагу до неї багатьох дослідників. Однією з важливих сфер застосування теорії ймовірностей є економіка. Реальні економічні процеси в сучасному світі настільки складні та багатогранні, що важко уявити дослідження та прогнозування явищ економіки без використання математичного моделювання, регресійного аналізу, трендових моделей та інших методів, які базуються на теорії ймовірностей. Переломними у економічній теорії стали 30-ті роки XX століття, коли поява таких результатів математичного напрямку, як моделі ''витрати-випуск" В. Леонтьєва, перші докази існування економічної рівноваги А. Вальда, моделі багато секторної зростаючої економіки та динамічної рівноваги, а також теорія ігор Дж. фон Неймана, економетрика Р. Фріша, лінійне програмування Л. Канторовича, і подальший розвиток цих результатів докорінно змінили подобу економічної теорії та надали їй сучасного вигляду. Збулося передбачення Л. Вальраса, висловлене ним у 1874 роді: "Чиста теорія економіки є наука, що нагадує у всьому фізико-математичні науки".

Математична наука, що вивчає закономірності масових подій, називається теорією ймовірностей.

Науку, що використовує теорію ймовірностей для обробки численних одиниць інформації як наслідків експерименту, називають математичною статистикою.

Теорія математичної статистики у своїй більшості базується на теорії ймовірностей, хоча потужним джерелом побудови ймовірносних моделей є дані математичної статистики.

Зауважимо, що нині існує тенденція до появи нових економічних дисциплін, таких як “Економетрія”, “Теорія ризику”, “Теорія надійності”, “Інформатика” і т. ін., котрі тісно пов'язані з теорією ймовірностей. Своїм виникненням ці дисципліни завдячують саме теорії ймовірностей. Отже, теорію ймовірностей можна розглядати як об'єднання певної кількості різнорідних і доволі розвинених дисциплін, кожна з яких, зокрема, і всі вони разом мають стати науковим багажем кожного фахівця з економіки.

Предметом теорії ймовірностей є математичний аналіз випадкових явищ, тобто емпіричних феноменів, які - при певному комплексі умов - характеризуються тим, що:

o для них відсутня детерміністична регулярність (спостереження за ними не завжди приводять до одних і тих наслідків);

o в той же самий час вони мають деяку статистичну регулярність (яка виявляється у статистичній усталеності частот).

Статистична сталість частот надає можливість для вірогідності можливості гіпотези кількісної оцінки "випадкової" тієї чи іншої події, яка є наслідком експерименту.

Пізнавальна цінність теорії ймовірностей обумовлена тим, що масові випадкові події у своєї сукупній дії утворюють точні закономірності.

Покликана вивчати кількісні характеристики “випадковості”, теорія ймовірностей, як і всяка точна наука, стала такою лише тоді, коли було чітко сформульоване поняття імовірнісної моделі, коли була створена її аксіоматика. Сучасна теорія ймовірностей починається з установлення аксіоматики, що вперше в закінченому виді сформулював у 1933 році А.Н. Колмогоров у книзі "Основні поняття теорії ймовірностей".

Хоча виникнення теорії ймовірностей як науки відноситься до середини XVII століття і зв'язано з іменами Паскаля, Ферма, Гюйгенса, але окремі задачі, підрахунку шансів в азартних іграх, розглядалися раніше - XV-XVI в. італійськими математиками Кардано, Пачоли, Тарталья й ін..

Перші методи рішення таких задач були дані в першій книзі по теорії ймовірностей “De Ratiociniis in Aleae Ludo” (“Про розрахунки в азартній грі”), опублікованої Гюйгенсом у 1657 р. Саме в цей період виробляється важливе поняття “математичного сподівання”, установлюються теореми додавання й множення ймовірностей.

Щира теорія ймовірностей починається з роботи Я. Бернуллі (1654 - 1705) “Ars Conjectandi” (“Мистецтво припущення”), опублікованої в 1713 р., у якій була доведена перша гранична теорема теорії ймовірностей - закон великих чисел, і роботи Муавра (1667 - 1754) “Miscellanea Analytica Supplementum” (“Аналітична суміш”), 1730 р., у якій уперше була сформульована і доведена, так називана центральна гранична теорема.

Я. Бернуллі був, імовірно, першим, хто усвідомив важливість розгляду нескінченних послідовностей повторних випробувань і хто робив чітке розходження між поняттям ймовірності події й частоти його появи. Муавру належить визначення таких понять, як незалежність, математичне сподівання, умовна ймовірність.

У 1812 р. виходить великий трактат Лапласа (1749 - 1827) “Theorie Analytique des Probabilites” (“Аналітична теорія ймовірностей”), у якій він викладає свої власні результати в області теорії ймовірностей, а також результати своїх попередників. Зокрема, він узагальнив теорему Муавра на загальний випадок схеми Бернуллі.

Дуже значний внесок Лапласа, що складає в застосуванні імовірнісних методів до теорії помилок спостережень. Саме їм була висловлена плідна ідея, що помилка спостережень повинна розглядатися як сумарний ефект додавання великого числа незалежних елементарних помилок. Звідси випливало, що при досить загальних умовах розподіл помилок спостережень принаймні приблизно повинний бути нормальним.

До цього ж періоду в розвитку теорії ймовірностей, коли центральне місце в дослідженнях займали граничні теореми, відносяться роботи Пуассона (1781 - 1840) і Гауса (1777 - 1855).

З ім'ям Пуассона в сучасній теорії ймовірностей зв'язане поняття розподілу й процесу, що носять його ім'я. Гаусу належить заслуга створення теорії помилок, і, зокрема, обґрунтування одного з її основних принципів - методу найменших квадратів.

Наступний важливий період у розвитку теорії ймовірностей зв'язаний з іменами П. Л. Чебишова (1821 - 1894), А. А. Маркова (1856 - 1922), А. М. Ляпунова (1857 - 1918), що створили ефективні методи доказу граничних теорем для сум незалежних довільно розподілених випадкових величин.

До Чебишова основний інтерес в теорії ймовірностей був зв'язаний з підрахунком ймовірностей випадкових подій. Він уперше запровадив ясно усвідомлене поняття випадкової величини і математичного сподівання випадкової величини.

Кращим виразником ідей Чебишова був його учень Марков. Значний внесок Маркова в теорію ймовірностей є почате ним дослідження граничних теорем для сум залежних випадкових величин і створення одного з нових розділів теорії ймовірностей - теорії залежних випадкових величин, зв'язаних у ланцюг Маркова.

Для доказу центральної граничної теореми теорії ймовірностей (про збіжність до нормального закону) Чебишов і Марков застосували метод моментів. При більш загальних умовах і більш простим методом - методом характеристичних функцій ця теорема була отримана Ляпуновим. Наступний розвиток теорії показало, що метод характеристичних функцій є могутнім аналітичним засобом доказу найрізноманітніших граничних теорем.

Перші роботи з установлення аксіоматики належать С. Н. Бернштейну, Р. Мізесу, Э. Борелю. У 1933 р., але тільки аксіоматика А. Н. Колмогорова одержала загальне визнання і дозволила охопити не тільки всі класичні розділи теорії ймовірностей, але і дати строгу основу для розвитку її нових розділів розподілами.

Починаючи з 20 - 30 років у теорії ймовірностей бурхливо розвивається один із її нових розділів - теорія випадкових процесів. Була створена теорія марковских процесів, теорія стаціонарних процесів, теорія мартингалів, теорія граничних теорем для випадкових процесів. До недавнього часу відноситься виникнення теорії інформації.

До цього періоду відноситься і зародження математичної статистики як окремої математичної дисципліни. У визначеному змісті математична статистика займається задачами, зворотними до задач теорії ймовірностей.

При складанні посібника автори використовували різноманітну літературу по теорії ймовірностей. В історико-бібліографічній довідці вказуються як джерела результатів, що приводяться, так і додаткова література, що відноситься до розглянутого матеріалу.