Вариант №8

Модуль №1. Случайные события

Индивидуальные задания к модулю №1

 

8. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что охотник : а) промахнется все три раза; b) попадет хотя бы один раз ; c) попадет два раза.

 

28. Три мальчика и три девочки занимают наудачу 6 мест, идущих подряд в одном ряду зрительного зала. Найти вероятность того, что

а) мальчики окажутся сидящими рядом;

b) между каждыми двумя мальчиками окажется девочка;

c) мальчики сядут на четные места, девочки - на нечетные;

d) ровно две девочки окажутся сидящими рядом.

 

Модуль №2. Случайные величины

Индивидуальные задания к модулю № 2

 

В задачах 31 - 60 требуется в зависимости от типа случайной величины, который необходимо определить:

1.  Найти закон распределения случайной величины x;

2.  Вычислить числовые характеристики случайной величины (математическое ожидание - Мx, дисперсию - Dx, среднее квадратическое отклонение sx и вероятность принятия значения в заданном интервале - P{xÎ(a;b)};

3.  Построить графики (функции распределения и для непрерывных случайных величин дифференциальной функции распределения).

___________________________________________________________________

 

 

38. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. x -число попыток при открывании замка, если испробованный ключ в последующих открываниях не участвует. (a = 2; b = 4).

_____________________________________________________________________

48. Работают 4 станка с ЧПУ, которые обслуживаются одним роботом. В данную минуту вероятность поступления запроса на обслуживание от первого станка - 1/20, от второго - 1/15, от третьего - 1/10, от четвертого -1/5 (запросы от станков поступают независимо). x - число поступивших роботу запросов. (a = 0; b = 3).

______________________________________________________________________

58.

 x = h:z, если

h:                               z:

Уi

-1

0

1

Pi

0,2

P2

0,4

 

Zi

-2

-1

1

Pi

0,1

0,3

P3

                                                       

                                                                  (a = -1/2; b = 1).

 

 

В задачах 61 - 90 требуется использовать закон больших чисел или его следствия.

 

68. Отдел технического контроля проверяет на стандартность 500 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти вероятность того, что число стандартных деталей среди проверенных равно наивероятнейшему числу стандартных деталей.

 

78. По условиям страховки клиенту выплачивается 100$ в случае травмы и 1500$ в случае смерти. Застраховано k человек одного возраста. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Определить при каком количестве застрахованных вероятность того, что прибыль страховой компании превысит 1000$, будет не более 0.1, если стоимость страховки 15$.

 

88. Случайные величины {xn}, независимы и каждая задана рядом:

xi

1

2

3

Pi

0,1

0,2

0,7

 Найти вероятность того, что сумма 200 случайных величин {xn}, превзойдет 700.

 

 

Модуль №3. Числовые характеристики статистики

Индивидуальные задания к модулю № 3

 

Задание к лабораторной работе 1

 

            В работе, используя выборку, решить следующие задачи:

1. Построить вариационный ряд (дискретный и интервальный);

2. Вычислить относительные частоты (частости) и накопленные частости;

3. Построить графики вариационного ряда ( полигоны и гистограммы относительных и абсолютных частот);

4. Составить эмпирическую функцию распределения, построить ее график;

5. Вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

- среднее арифметическое,

- дисперсию,

- стандартное отклонение,

- моду,

- медиану.

Вариант 8

199

200

200

198

200

197

199

200

201

195

204

196

200

202

204

202

201

200

198

200

198

199

204

201

201

203

198

199

203

198

202

199

202

201

204

200

200

201

199

204

197

201

199

196

197

198

197

201

201

198

202

196

202

199

203

200

198

200

200

201

203

196

201

197

201

203

200

200

203

199

198

199

201

203

201

200

197

200

202

205

200

206

202

198

202

201

198

201

196

200

197

198

198

200

202

200

200

200

200

201

 

 

Задания к лабораторной работе 2

           

В работе, используя выборку, решить следующие задачи:

            1. Вычислить по выборке различные оценки параметра m - среднего значения, определить наилучшие оценки параметров m - среднего значения, s2 - дисперсии, s - стандартного отклонения генеральной совокупности ;

2. Найти доверительные интервалы для m при доверительной вероятности b = 0,8; 0,95; 0,99;

            3. Считая данные выборки пробными взяв D, полученное при b=0,95, определить минимальный объем выборки n для нахождения доверительного интервала среднего значения - m длины 2D  (а также произвольно изменяя D: увеличить и уменьшить) с доверительной  вероятностью

 b = 0,8; 0,9; 0,95; 0,99; 0,995;

 

Вариант 9

 

552

549

549

552

550

552

549

549

550

549

550

550

550

547

550

551

551

550

549

552

547

550

551

552

549

551

550

550

551

549

552

550

550

552

548

549

549

551

551

550

549

549

549

549

550

547

548

549

552

554

551

549

551

549

549

550

552

548

549

550

551

549

549

550

551

549

551

550

552

550

549

549

551

551

550

550

549

550

550

550

551

547

548

552

551

550

551

550

550

551

551

552

551

549

551

547

550

551

548

549

 

 

Модуль №4.  Проверка статистических гипотез

Индивидуальные задания к модулю № 4

 

Задания к лабораторной работе 3

 

            В задачах этой работы используются выборки из генеральных совокупностей с нормальным распределением ХÎN(m,s)  (за исключением задачи 3.4).

            По данной выборке при уровне значимости a проверить гипотезы в задачах:

 

            3.1. Полагая, что s известно, нужно проверить гипотезу Но: m = mо , а в качестве альтернативной гипотезы можно использовать одну из следующих гипотез Н1: m < mо, Н1: m > mо или Н1: m ¹ mо.

            Критическая область определяется с помощью таблицы «Функции распределения нормированного нормального распределения (прил.2). При известном s используем статистику .

Решить задачу, используя выборку и полученные результаты лабораторной работы 1, mо  взять равным ближайшему целому числу к , а a = 0,01.

 

           

3.2. Проверить гипотезу: Но: m = mо при Н1: m  ¹ mо. При неизвестном s используем статистику   t = .

            Критическая область определяется с помощью таблицы «Функции t-распределения Стьюдента с числом степеней свободы n-1», где n-объем выборки.

 

Вариант 1. ( mо = 1;   = 4; a = 0,02 )

 

2.52

1.25

3.65

5.70

0.60

0.03

-0.44

4.81

1.66

0.37

-0.76

2.21

-0.69

1.44

2.94

-1.37

3.33

1.00

0.13

-1.30

 

 

            3.3. Проверить гипотезу о дисперсии нормального распределения ХÎN(m,s). Но: s2 =  при Н1: s2 <  или Н1: s2 >  (выбрать подходящую альтернативную гипотезу).

            Критическая область определяется с помощью таблицы «Функции c2-распределение Пирсона с числом степеней свободы n-1», где n-объем выборки.

 

 

            3.4. Проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности Х. Необходимо по выборке, или учитывая другие соображения, составить гипотезу Но о распределении генеральной совокупности. Для проверки гипотезы использовать c2- критерий согласия Пирсона ( a = 0,05).

 

Вариант 1

 

29.71

30.14

29.83

30.36

29.71

29.94

30.76

29.61

30.75

30.93

30.16

30.52

30.17

29.80

30.21

30.07

30.26

29.68

29.65

30.18

30.79

30.27

30.67

30.29

29.68

29.99

29.89

30.93

29.00

31.10

30.68

29.24

30.41

29.69

29.31

29.02

30.05

29.06

31.00

29.92

30.23

29.91

30.77

29.27

29.97

29.91

31.05

30.02

29.50

30.17

 

3.5. Проверить гипотезу о равенстве центров распределения двух нормальных генеральных совокупностей:

а) при известном s используем статистику .

            Критическая область определяется с помощью таблицы функции Ф(х) (прил.2).

 

б) при неизвестных s1 и s2 , полагая s1 = s2  используем статистику .

            Критическая область определяется с помощью таблицы «Функции t-распределения Стьюдента с числом степеней свободы n1 + n2 - 2», где n1, n2 -объемы выборок (прил.4)  ( a = 0,01; n1 = 20, n2 = 40).

 

Вариант 1 (s1 = s2 = 2)

X

148.3

147.1

147.5

141.3

147.7

146.3

147.6

144.6

142.0

145.2

141.9

149.9

146.0

144.5

144.7

146.0

142.6

142.7

145.5

146.9

Y

143.1

145.4

143.8

141.5

143.3

145.0

143.5

148.2

144.3

143.4

147.3

145.2

145.7

146.0

143.7

147.0

144.7

146.1

143.8

139.7

142.5

145.8

143.0

145.3

146.0

149.2

144.6

146.0

146.1

144.5

148.8

150.2

144.9

145.2

143.8

146.3

144.4

147.3

145.3

148.6

 

 

Модуль №5.  Основы корреляционного и регрессионного анализа

Индивидуальные задания к модулю № 5

 

Задание к лабораторной работе 4

 

            В работе приведены результаты наблюдений за парой признаков ( Х,У ). По данным наблюдений требуется:

            а) построить корреляционное поле;

            б) найти коэффициент корреляции между признаками Х и У;

            в) найти уравнение линейной регрессии у = f(x) и дать объяснение полученному результату, используя экономический смысл данных;

            г) нанести график прямой регрессии на корреляционное поле и сделать предварительный прогноз.

 

Вариант 1 (Х - основные фонды (усл. ед.); У - объем производства (относ. ед.))

 

Х

51.55

12.87

41.03

17.54

37.89

19.71

36.05

24.87

29.37

У

326

184

311

214

297

228

285

241

268

Х

9.18

45.59

16.27

39.60

18.93

36.45

24.62

30.92

25.42

У

150

315

201

301

222

291

233

281

246

Х

48.58

13.67

39.97

18.28

37.61

23.33

32.58

25.40

28.81

У

324

187

306

215

296

229

283

244

266

Х

11.72

42.33

16.93

39.05

19.56

36.10

24.66

30.46

26.03

У

157

314

212

298

226

287

241

277

247

Х

46.67

16.24

39.63

18.66

37.59

23.76

32.42

25.40

28.33

У

322

195

303

221

293

232

283

246

259