З-ны Расп

§ 14. Законы распределения непрерывных случайных величин

Рассмотрим некоторые наиболее важные законы распределения случайных величин.

2. Экспоненциальное (показательное) распределение

1. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина x имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю, т.е.

где С = Const. Используя условие нормировки 2 из § 9, определим С.

откуда с = 1/(b-a) и, следовательно, плотность равномерного распределения имеет вид:

(14.1)

Теперь определим вид интегральной функции распределения для этого закона, который в силу (9.1) будет следующим:

(14.2)

Изобразим графики f(x) и F(x):

Рис. 14.1

Определим числовые характеристики данной случайной величины:

(14.3)

(14.4)

(14.5)

Наконец, найдем вероятность попадания значений равномерно распределенной случайной величины на интервале (a,b) в интервал (a , b ):

(14.6)

Непрерывная случайная величина подчинена равномерному закону распределения, если ее возможные значения лежат в пределах некоторого определенного интервала, кроме того, в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (обладают одной и той же плотностью вероятности). С такими случайными величинами часто встречаются в измерительной практике при округлении от счетов измерительных приборов до целых делений шкал. Ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления является случайной величиной x , которая с постоянной плотностью вероятности принимает любое значение между соседними целыми делениями.

В начало страницы

3. Нормальное распределение

Исключительно важную роль в теории вероятностей играет нормальное распределение (закон Гаусса).

Непрерывная случайная величина x имеет нормальное распределение вероятностей с параметрами а, s > 0, если плотность распределения ее имеет вид:

(14.12)

Нормальный закон распределения широко применяется в практических задачах, он проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. Каждый фактор в отдельности на величину x влияет незначительно.

Функция распределения такой случайной величины имеет вид:

(14.13)

Для определения числовых характеристик воспользуемся интегралом Пуассона:

(14.14)

Имеем:

то есть Mx = a. (14.15)

Далее,

итак:

Dx = s ². (14.16)

Таким образом, параметры а, s ²в выражении (14.12) есть математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной случайной величины, а

(14.17)

График плотности вероятности имеет вид нормальной кривой (Гаусса):

Рис. 14.3

Отметим некоторые свойства нормальной кривой.

1. Кривая распределения симметрична относительно прямой х = а.

4. При изменении математического ожидания и при s = Const, происходит смещение кривой вдоль оси Ох. Если положить а = Const и изменять s , то кривая изменяет свой вид в зависимости от s .

Рис. 14.4

Замечание. Пусть x - нормальная случайная величина с параметрами (0,1), Тогда ее плотность имеет вид:

а функция распределения

(14.18)

есть функция Лапласа (см. (13.4^\)).

С помощью Ф(х) можно вычислять вероятность того, что нормальная случайная величина с параметрами (а,s ²) примет значение из интервала (a ,b ).

Именно,

(14.20)

Отметим важный частный случай последней формулы:

(14.21)

Если взять , то получим, независимо от а,

(14.22)

Формула (14.22) носит название правила трех сигм.

В начало страницы

2. Экспоненциальное (показательное) распределение данные

В практических приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания, исследовании операций, в физике, биологии, теории надежности, часто имеют дело со случайными величинами, которые имеют экспоненциальное распределение.

Случайная величина x распределена по показательному закону с параметром l >0, если она непрерывна и имеет следующую плотность распределения вероятностей:

(14.7)