Выберите нужную Вам работу

Для выполнения работы необходимо усвоить теоретический материал:

1. Определение функции нескольких независимых переменных; основные понятия и обозначения;

4. Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия;

6. Подбор параметров по методу наименьших квадратов.

Цель работы: Нахождение параметров приближенной зависимости между величинами методом наименьших квадратов

В различных исследованиях по данным результатов исследований, часто возникает необходимость построения эмпирических формул, составленных по этим наблюдениям.

Если аналитическое выражение функции неизвестно, то возникает необходимость в решении практически важной задачи: найти эмпирическую формулу значения которой при х = х_і мало отличались бы от опытных данных у_і.

Пусть произвели ряд измерений х и у. В результате полученные данные записаны в таблицу значений

Геометрически задача построения эмпирической формулы состоит в проведении кривой, «возможно ближе» примыкающей к системе точек А_і(х_і,у_і) (см. Рис.1).

Построение эмпирической формулы слагается из двух этапов:

Большое значение для удачного подбора формулы имеет геометрическое изображение полученных данных в декартовых координатах или в специальных системах координат. По положению точек можно высказать предположение об общем виде зависимости на основе сходства между построенным графиком и образцами известных кривых.

Если вид эмпирической функции формулы выбран, то возникает задача определения наилучших коэффициентов (параметров), входящих в эту формулу.

Пусть данная система значений А_i(x_i,y_i) (i = 1,2, …, n) приближенно описывается формулой вида:

где f – известная функция, а - неизвестные параметры (постоянные), число которых обычно меньше числа точек А_i , т.е. n < k. Требуется определить эти постоянные. Если (x_i,y_i) точно связаны зависимостью (1), то параметры могут быть найдены из системы уравнений

Но на практике значения (x_i,y_i) содержат неизбежные ошибки, а число уравнений (2) больше числа неизвестных и система (2), как правило, несовместна. Поэтому находят наилучшие значения (оценки) , приближенно удовлетворяющие системе (2) так, что невязки (уклонения)

являются, возможно, малыми по абсолютной величине.

Одним из наилучших способов получения таких формул является метод (способ) наименьших квадратов.

Пусть по результатам опыта нам нужно установить зависимость между двумя величинами х и у, где, например,

По результатам наблюдения составим таблицу:

Нужно теперь установить функциональную зависимость у = f(x).

Нанесем результаты наблюдений на координатную плоскость.

В данном случае естественно предположить, что зависимость линейная (т.е. все точки расположены около прямой).

где а и b - некоторые постоянные коэффициенты, подлежащие определению.

Так как точки лежат приблизительно на этой прямой, то эта зависимость приближенная. И, если подставить точки наблюдений в (**), то получим равенства:

где числа e_i(i = 1¸n) называются погрешностями и, вообще говоря, не равные нулю.

Способ наименьших квадратов состоит в том, что нужно подобрать а и b таким образом, чтобы e_i были бы по возможности малыми по абсолютной величине, а лучше сказать, чтобы сумма квадратов погрешностей была бы минимальной. Т.е. потребуем, чтобы

тогда S(a,в) можно рассматривать как функцию двух переменных по а и b и можно ее исследовать на экстремум ( определить минимум), т.е.

Приравняем эти частные производные к нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b :

Система (6) называется нормальной системой способа наименьших квадратов.

Решая эту систему относительно а и b, находим числа а и b. Затем подставляем их в (*) получим линейную функцию, наилучшим образом отражающую зависимость между величинами х и у, полученную на основании наблюдений (из опыта).

Если опытные данные таковы, что при нанесении точек они примерно располагаются по квадратной параболе, то аналогично нужно искать приближенную зависимость в виде

И теперь из условия минимума функции трех переменных находим оценки параметров S(a,b,c). Линейная система (6) будет состоять их трех уравнений первой степени.

1. З а д а н и е. Дана таблица значений некоторой функции при различных значения аргумента, найти эмпирическую формулу у = f(x) данной зависимости.

2. Для определения вида формулы, нанесите наблюдения на декартову систему координат (постройте график эмпирической таблицы). Используйте ЭВМ (например, excel).

3. Сравнивая, полученный точечный график с разными кривыми, уравнения которых известны, выберите вид эмпирической формулы.

4. Определите оценки коэффициентов, входящих в эту формулу по методу наименьших квадратов (можно воспользоваться ЭВМ: любым пакетом программ «Аппроксимация опытных данных методом наименьших квадратов»).

Пример. Пусть имеем результаты наблюдений:

х_i	-2	0	1	2	4
у_i	0.5	1	1.5	2	3

Для выполнения работы необходимо усвоить теоретический материал:

7. Что называется интегральной сумой данной функции у = f(x) на данном отрезке [a,b];

8. Что называется определенным интегралом данной функции у = f(x) на данном отрезке [a,b]. Его основные свойства и геометрический смысл;

9. Какие геометрические величины можно вычислять с помощью определенного интеграла;

10. Методы приближенного вычисления определенного интеграла:

Цель работы: Освоение методов численного интегрирования

Когда возникает задача численного интегрирования? Для этого вспомним теорему Коши:

Теорема (Коши). Всякая непрерывная функция имеет первообразную. То есть пусть f(x) - непрерывна, определена на (a,b) Þ $ F(x) : F^/(x) = f(x) и тогда

Замечание. Но, тем не менее, не решается вопрос о том, как найти первообразную с помощью конечного числа известных операций над элементарными функциями. Более того, имеется ряд непрерывных элементарных функций, интегралы от которых не являются элементарными функциями. Такие интегралы называются “неберущимися”.

Под численным интегрированием понимают нахождение приближенного значения определенного интеграла

Приближенные методы приходится применять из-за того, что первообразную для f(x) нельзя выразить через элементарные функции или отыскание ее сопряжено со значительными трудностями.

Для получения приближенного значения интеграла (1) функцию f(x) аппроксимируют, т.е. приближенно выражают через другую функцию, более простую, функцией j(х) и принимают

Интерполяция – это построение приближенной или точной аналитической формулы у = j(х), если известны значения у_і в дискретном ряде х_і.

х_i	x₀	x₁	х₂	...	x_n
у_i	у₀	y₁	у₂	...	y_n

Среди элементарных функций самыми простыми являются многочлены и поэтому часто данную функцию у = f(x) аппроксимируют многочленом возможно низшей степени m, P_m(x) таким, чтобы

Многочлен P_m(x) может быть построен единственным способом при

m = n и называется интерполяционным многочленом Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа будет иметь вид:

Замечание. Отметим, что совпадение интерполяционного многочлена P_n(x) и функции f(x) в узлах х_і (і = 0,1,2. ..., n) не означает их совпадения в остальных точках промежутка [a,b], поэтому всегда необходимо оценивать погрешность замены f(x) ее интерполяционным многочленом.

Разность R_n(x) = f(x) - P_n(x) называется остаточным членом.

Применяя теорему Ролля можно получить оценку остаточного члена, которая будет иметь вид:

Для получения приближенного значения интеграла (1) можно использовать геометрический смысл определенного интеграла.

Пусть у = f(x) определена на [a,b], непрерывна и нужно определить площадь, ограниченную кривой y = f(x), а также прямыми х = а, х = b, y = 0.

Таким образом, определенный интеграл от непрерывной неотрицательной функции при a £ b равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

На основании этого имеем приближенную формулу:

Воспользуемся геометрическим смыслом или, что тоже самое, аппроксимируем f(x) на [a,b] многочленом (2) получим приближенную формулу для вычисления интеграла.

Здесь площадь криволинейной трапеции заменяется площадью трапеции. Погрешность формулы трапеций (6) бывает очень велика. Для увеличения точности разобьем отрезок [a,b] на n равных частей длиной ( h - шаг разбиения) и в каждой части применим формулу (6).

Тогда узловые точки разбиения х_i= х₀+ i×h, a y_i= f(x_i), i = 0,1, ... , n дадут нам n трапеций с основаниями y_i= f(x_i) и высотой h.

Суммируя площади этих трапеций, будем иметь обобщенную формулу трапеций для вычисления приближенного интеграла

Замечание. Погрешность этой формулы (7) можно определить используя (4)

Иногда лучшее приближение дает другая формула, профиль криволинейной трапеции полоски (трапеции) считать параболическим.

Интерполируя функцию f(x) по формуле (3) и выполнив интегрирование, получим малую формулу Симпсона (формула парабол).

Можно показать, что погрешность этой формулы определяется по формуле

Для увеличения точности разобьем отрезок [a,b] на n =2×m частей.

И на каждом участке аппроксимируем нашу кривую

Например, если h мало, то кривую y = f(x) можно заменить параболой

y = A×x²+ B×x + C, проходящей через точки М(х_0,у₀), L(x_1,y₁), D(x_2,y₂). Но нам нужно определить коэффициенты А,В,С для параболы.

С другой стороны, если х₀ = -h, тогда A×h²- B×h + C = y_0,

то есть y₁ = C, a . Тогда подставим полученные значения в (5.4), получим

Но так мы можем аппроксимировать на любом промежутке [a,b] любого разбиения т.е. интерполируя функцию f(x) по формуле (3) и выполнив интегрирование, получим

Вычислить приближенно, используя методы 2,3,4 по обобщенным формулам (5), (7), (9) с абсолютной точностью çR(f)ç £ 0,01.

Полученные результаты сравнить и сделать выводы. Используйте ЭВМ (например, excel)

Постройте графики подынтегральных функций y = f(x).

Для выполнения работы необходимо усвоить теоретический материал:

11. Что называется сумой сходящегося числового ряда?

12. Почему при исследовании сходимости ряда можно отбрасывать любое конечное начальных членов ряда?

13. Предел общего члена ряда равен нулю, можно утверждать, что ряд сходится?

15. В чем суть метода Даламбера сходимости ряда;

16. Какие числовые знакопеременные ряды называются абсолютно сходящимися и, какие условно сходящимися? Приведите примеры;

17. В чем состоит признак Лейбница сходимости рядов?

18. Понятие степенного ряда. Рассмотрите степенные ряды, имеющие нулевой, конечный и бесконечный радиус сходимости;

19. Для каких значений х справедливы разложения в ряд функций:

Цель работы: Исследование рядов на сходимость. Вычисления суммы ряда

Рассмотрим числовой ряд . Необходимо установить сходимость ряда, если ряд сходится, то вычислить сумму с некоторой точностью e.

Исследование числового ряда целесообразно начинать с проверки необходимого условия сходимости ряда, именно с проверки условия , где а_n – общий член ряда. Если условие не выполнено, т.е. либо предел не существует, либо он бесконечен, либо конечен, но равен 0, то ряд расходится. Если же для ряда , то вопрос о сходимости остается открытым, и требуются дополнительные исследования на сходимость.

Р е ш е н и е. Проверим необходимое условие, (этот придел не существует), а . Необходимое условие не выполнено. Следовательно, данный ряд расходится.

Теперь покажем применение основных достаточных признаков сходимости рядов (признак сравнения, признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак).

Р е ш е н и е. Проверим необходимое условие, общий член ряда , тогда

следовательно оно выполнено. Для доказательства сходимости применим достаточный признак сравнения рядов. Рассмотрим ряд с общим членом и исследуем его на сходимость: а) Так как , то необходимое условие выполнено.

Для проверки сходимости ряда применим интегральный признак сходимости рядов. Здесь тогда , а так как производная для всех х Î [2,¥), то убывает на [2,¥). Все условия

интегрального признака выполнены. Тогда для доказательства нужно вычислить интеграл. Интеграл расходится, но тогда и ряд тоже расходится. Теперь применим предельный признак сравнения рядов . Видим, что предел конечен и отличен от нуля, а так как ряд расходится, то и

Достаточные признаки Коши и Даламбера проиллюстрируем при исследовании степенных рядов. Ели проанализировать доказательство признака Даламбера, то можно заметить, что для ряда с положительными членами существует предел . Если l < 1, то ряд сходится, а при l > 1 общий член ряда не стремится к нулю и, следовательно, ряд расходится. Аналогичным образом можно сформулировать признак Коши.

З а д а ч а 3. Найти область сходимости степенного ряда .

Р е ш е н и е. Применим признак Даламбера к данному ряду:

Тогда ряд будет сходящимся, если будет сходится ряд , но это возможно, в силу признака Даламбера, если т.е., если или -8 < x < 10.

А при x < -8 и x >10 ряды и будут расходящимися т.к. для всех значений х Î(-¥; -8) È (10; ¥)

Напомним, что из расходимости ряда , вообще говоря, не следует расходимость ряда (см. пример, где ).

Поэтому необходимо исследовать сходимость данного ряда на концах интервала сходимости т.е. при х = -8 ряд в силу признака Лейбница будет сходящимся, а при х = 10 получим ряд

гармонический, который расходится. Итак, областью сходимости степенного ряда является промежуток [-8; 10).

З а д а ч а 4. Найти область сходимости степенного ряда .

Р е ш е н и е. Для исследования ряда применим признак сходимости Коши к ряду , полагая . Тогда ;

Далее рассуждения аналогичны задачи 3. Получим, что ряд сходится на отрезке [-3; -1]. В этом примере вопрос о сходимости ряда на концах интервала решен без дополнительного исследования.

Теория рядов часто применяется для приближенных вычислений значений функций и определенных интегралов. При этом следует обратить особое внимание на то, как оценить погрешность при замене суммы знакочередующегося ряда его частичной суммой. Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то допускаемая погрешность не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов ряда.

Условия признака Лейбница выполнены и поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов:

Рассмотрим числовой ряд для которого требуется вычислить сумму S с некоторой точностью e. Заменяя S суммой конечного числа членов ряда S_n при этом допускаем погрешность, равную остаточному члену R_n, где

Для обеспечения заданной точности вычисления e необходимо потребовать, чтобы ç R_n ç < e.

Рассмотрим сущность метода Куммера. Говорят, что ряд (*) сходится медленно, если для получения его суммы S_n с точностью e нужно взять большое число его членов. Но есть другой ряд сходящийся быстрее данного ряда (*) т.е. есть два сходящихся ряда и причем,

, тогда b_n = o(a_n) при n®¥ в этом случае говорят, что ряд сходится быстрее ряда . Сущность метода Куммера и заключается в том, чтобы данный ряд заменить рядом сходящимся быстрее, а именно.

Пусть ряд сходится и сумма его равна S. Подберем ряд сумма которого известна S₁, причем, .

Так как т.е. , то ряд сходится быстрее ряда и поэтому, вычисляя S по формуле

получаем требуемую точность e при меньшем числе членов.

В качестве рядов - вспомогательных рядов с известными суммами можно использовать следующие ряды:

З а д а н и е. Применяя метод Куммера убыстрения сходимости рядов, вычислить сумму ряда с точностью e.

Выполнение лабораторной работы необходимо разбить на несколько этапов:

1. Если величина, которую нужно вычислять, не представлена числовым рядом, нужно получить это представление (см. Зад. 5).

2. Исследовать ряд на сходимость следуя задачам 1- 4.

3. Определить количество членов ряда n, необходимое для обеспечения заданной точности e.

4. Подобрать вспомогательный ряд из таблицы п.II такой, чтобы .

6. Определить количество членов ряда , необходимое для обеспечения заданной точности e.

Р е ш е н и е. Сходимость ряда проверить самостоятельно.

Определим количество членов, необходимое для обеспечения требуемой точности e = 10^-6.

Итак, для обеспечения точности e = 10^-6 необходимо взять примерно10⁶ членов ряда.

Теперь воспользуемся вспомогательным рядом из таблицы

Определим количество членов полученного ряда, необходимое для обеспечения точности e.

Вычисление полученной суммы можно произвести на ЭВМ.

Для выполнения работы необходимо усвоить теоретический материал:

21. Какие действия (операции) установлены над матрицами? Как они определяются и каковы их свойства?

22. Определение обратной матрицы для данной матрицы А, всегда ли она существует и как ее найти?

23. Что называется определителем матрицы, для каких матриц он определен и какими свойствами обладает?

24. Что называется матрицей (расширенной матрицей) системы линейных уравнений?

25. Какие способы решения систем линейных уравнений Вы знаете? Опишите: а) метод Крамера;

27. Условие совместимости систем линейных уравнений;

28. Определение линейного пространства. Что называется вектором?

29. Дайте определение линейной зависимости и независимости системы векторов;

30. Что называется размерностью линейного пространства?

31. Что называется базисом линейного пространства и координатами вектора в данном базисе?

32. Что называется арифметическим n-мерным пространством? При каком условии арифметическое n-мерное пространство Rⁿ является линейным пространством?

33. Коков признак того, что данная система векторов в Rⁿ является линейным пространством?

34. Собственные векторы неотрицательных матриц.

Цель работы: Использование теории матриц и определителей для решения задач линейной алгебры

Понятие матрицы играет важную роль во многих вопросах как теоретического, так и прикладного характера. Матрица (таблица) с m строками и n столбцами образуют, например, коэффициенты a_ij системы m линейных уравнений с n переменными (неизвестными); если к этой матрице добавить столбец свободных членов b_i, то получим матрицу, определяющую систему уравнений (расширенная матрица. Другим примером матрицы может служить план перевозок некоторой продукции с m баз В₁, В₂, …, В_m n потребителям А₁, А₂, …, А_n: если обозначить x_ij – количество продукции, перевозимой с базы В_i потребителю А_j, то совокупность этих величин образует матрицу с m строками и n столбцами.

Теория определителей и систем линейных уравнений является частью линейной алгебры – математической дисциплины, которая в настоящее время широко применяется в решении и исследовании многих теоретических вопросов, как в самой математике, так и в решении практических вопросов.

Теория систем линейных уравнений закладывает основу большому и важному разделу алгебры - линейной алгебре.

Пусть нам дана система из n уравнений с n неизвестными

Здесь х₁, х₂, ..., х_n - неизвестные. Все они в первой степени (поэтому система называется линейной), а коэффициент i-го уравнения при j-том неизвестном обозначается через a_ij и b_i - свободный член i-го уравнения.

Коэффициенты при неизвестных составляют прямоугольную таблицу

которая называется матрицей из n строк и n столбцов. Еще эту таблицу называют квадратной матрицей.

b и x называются соответственно матрица-вектор b свободных членов и матрица-вектор х неизвестных.

Решением системы линейных уравнений (1) (а также (4), так как это эквивалентные записи) называется система n чисел k₁,k₂,...,k_n таких, что каждое из уравнений (1) обращается в тождество после замены х_i на k_i.

Если система линейных уравнений не имеет ни одного решения, то она несовместна. В противном случае она называется совместной.

Система называется определенной, если она обладает одним единственным решением, и неопределенной, если решений больше, чем одно.

Задача теории систем линейных уравнений состоит в разработке методов, позволяющих узнать, совместна данная система уравнений или нет, и если совместна, то установить число решений, а также указать способ нахождения всех решений.

Если матрица системы (1) А - квадратная, то есть , то она имеет определитель (детерминант):

З а м е ч а н и е. Не нужно смешивать эти два понятия. Матрица - это упорядоченное множество чисел, представленное в форме таблицы, а detA - число, вычисленное по определенной формуле:

где сумма берется по всем возможным комбинациям (a₁,a₂,...,a_n) элементов 1, 2, ..., n , а всего n! членов.

получающиеся из определителя D заменой его j–го столбца (столбца коэффициентов системы при неизвестном х_j) столбцом свободных членов.

Теорема. Если определитель системы D ¹ 0, то система уравнений (1) имеет единственное решение, и оно определяется по формулам Крамера:

З а д а ч а 1. Решить систему уравнений по правилу Крамера (5)

Вычислим определитель системы, если D ¹ 0, то данная система уравнений имеет единственное решение, и его можно будет определить по формулам Крамера.

Для вычисления определителя использовались основные свойства и преобразования.

По формулам Крамера находим единственное решение системы:

2. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Чтобы упростить изложение метода, рассмотрим систему из четырех уравнений и четырех неизвестных. Считаем, что система совместна.

Ø. Пусть а₁₁ ¹ 0 (ведущий коэффициент). Тогда разделим все члены первого уравнения на а₁₁:

Полученное уравнение (2) умножим на а₂₁, получим (*)

а₂₁×х₁+ а₂₁×b₁₂×x₂+ a₂₁×b₁₃×x₃+ a₂₁×b₁₄×x₄= a₂₁×b₁₅.

Это уравнение вычтем из второго уравнения исходной системы (2):

Повторим такую операцию со всеми оставшимися уравнениями. В результате получим систему

Ù. Считаем, что в системе (3) ведущий элемент .

Повторим процедуру (*) из этапа Ø. В результате получим систему, но уже без х₂

Ú. Теперь считаем, что , и аналогичным образом приходим к уравнению

И так далее, если работаем с системой более, чем из 4-х уравнений.

Эта часть вычислений называется прямым ходом метода Гаусса. Таким способом мы получим приведенные уравнения

Из них мы последовательно находим неизвестные (обратный ход)

З а м е ч а н и е . Если на каком-либо этапе окажется равным нулю, то уравнения системы надо переставить надлежащим образом.

При решении системы уравнений удобно результаты вычислений заносить в следующую таблицу:

Для проверки вычислений полезно использовать “контрольные суммы”:

Применение его приведет нас к следующей таблице:

Метод, изложенный выше, весьма прост и без труда реализуется на ЭВМ, однако он не дает возможности сформулировать условия совместимости или определенности системы при помощи коэффициентов и свободных членов этой системы.

Определение. Матрица В называется обратной матрицей по отношению к данной матрице А, если

где Е - единичная матрица. В дальнейшем матрицу В будем обозначать А^-1.

Понятие обратной матрицы дает простое решение системы уравнений, записанное в матричной форме

Тогда получаем, что для решения системы необходимо определить А^-1.

Для определения обратной матрицы напомним некоторые положения из теории:

Определение. Матрица называется регулярной, если ее определитель отличен от нуля.

Теорема. Все регулярные матрицы имеют обратную матрицу.

и (в этом случае матрица называется невырожденной). Построим для матрицы А матрицу А^*, составив ее из алгебраических дополнений к элементам матрицы А. Транспонируя ее, имеем

Это так называемая присоединенная или взаимная матрица.

1. Сумма произведений элементов какой-либо строки или столбца определителя на их алгебраические дополнения равна нулю или D.

2. Сумма произведений элементов какой-либо строки или столбца определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов других строк или столбцов равна нулю.

1. Если для матрицы А существует А^-1, то она единственная.

З а д а ч а 3. Решить систему матричным методом (метод обратной матрицы).

Согласно теореме все регулярные матрицы имеют обратную матрицу. Построим для матрицы А матрицу А^*, составив ее из алгебраических дополнений к элементам матрицы А.

Теория систем линейных уравнений и методы нахождения решений используется в векторной алгебре. Пусть дан еще вектор b(b₁, b₂, ..., b_n). В силу определения равенства векторов и действий между ними мы можем записать

Это равенство можно записать в виде системы n линейных уравнений с k переменными

Компоненты вектора а_j образуют столбец коэффициентов при переменной х_j в этой системе, а компоненты вектора b - столбец свободных членов. Верно и обратное: если в произвольно заданной системе линейных уравнений (14) совокупности коэффициентов при одной и той же переменной и свободные члены интерпретировать как соответствующие k векторы , то мы придем к векторному уравнению (13).

Уравнение (13) называется векторной формой записи системы линейных уравнений (14).

Если система (14) несовместна, то разложение вектора b по векторам а₁,а₂,...,а_k невозможно. Если система (14) совместна, то разложение (13) возможно, а каждое решение системы (14) является совокупностью коэффициентов этого разложения.

есть векторная запись однородной системы линейных уравнений

Система (16) всегда совместна, так как имеет нулевое решение; и если это решение единственное, то равенство (15) имеет место только при нулевых значениях коэффициентов, то есть система векторов а₁, а₂, ..., а_k линейно независима.

С другой стороны, нулевое решение системы (16) будет единственным тогда и только тогда, когда ее ранг равен числу переменных (r = k), или иначе говоря, утверждение “система векторов а₁, а₂, ..., а_k линейно независима” эквивалентно условию по отношению к рангу матрицы

столбцы, которой образованы компонентами этих векторов: ранг этой матрицы должен быть равен числу ее столбцов. Но r £ n, следовательно, если система k векторов линейно независима, то k = r £ n.

Теорема 1. В пространстве Rⁿ система линейно независимых векторов не может содержать более n векторов.

Теорема 2. Любые n векторов, для которых определитель со столбцами, образованными компонентами векторов, не равен 0, будут линейно независимы.

то векторы будут линейно независимыми (k = n, D ¹ 0, система (16) имеет единственное нулевое решение; матрица (17) - квадратная, и ранг матрицы r равен n).

Отсюда следует, что размерность линейного пространства равна n.

Векторы, для которых D ¹ 0, образуют базис этого пространства. Решение системы (16) является совокупностью координат вектора в этом базисе (в системе (16) в этом случае k = n, а системы (14) и (16) имеют один и тот же D).

Показать, что векторы а₁, а₂, а₃, а₄ образуют базис в R⁴ (линейное 4-х мерное пространство) и определить координаты вектора b в этом пространстве.

Так как D ¹ 0, следовательно, векторы а₁, а₂, а₃, а₄ образуют базис в R⁴.

Для вычисления координат вектора b в этом базисе составим систему линейных уравнений

представляет собой совокупность координат вектора b в базисе а₁, а₂, а₃, а₄, то есть b(2, 0, -1, 3) или

Базис в R⁴, как и в любом другом пространстве, может быть выбран не единственным образом.

В данном случае координаты вектора являются и его компонентами.

З а д а н и е. 1. Решить системы линейных уравнений:

2. Проверить, что векторы а₁, а₂, а₃ образуют базис в R³, найти координаты вектора b в этом базисе.

х₁	х₂	х₃	х₄	свободный член	S	Этапы
а₁₁ а₂₁ а₃₁ а₄₁	a₁₂ a₂₂ a₃₂ a₄₂	a₁₃ a₂₃ a₃₃ a₄₃	a₁₄ a₂₄ a₃₄ a₄₄	a₁₅ a₂₅ a₃₅ a₄₅	a₁₆ a₂₆ a₃₆ a₄₆	А₀
1	b₁₂	b₁₃	b₁₄	b₁₅	b₁₆
	a⁽¹⁾₂₂ a⁽¹⁾₃₂ a⁽¹⁾₄₂	a⁽¹⁾₂₃ a⁽¹⁾₃₃ a⁽¹⁾₄₃	a⁽¹⁾₂₄ a⁽¹⁾₃₄ a⁽¹⁾₄₄	a⁽¹⁾₂₅ a⁽¹⁾₃₅ a⁽¹⁾₄₅	a⁽¹⁾₂₆ a⁽¹⁾₃₆ a⁽¹⁾₄₆	А₁
	1	b⁽¹⁾₁₃	b⁽¹⁾₁₄	b⁽¹⁾₁₅	b⁽¹⁾₁₆
		a⁽²⁾₃₃ a⁽¹²⁾₄₃	a⁽²⁾₃₄ a⁽²⁾₄₄	a⁽²⁾₃₄ a⁽²⁾₄₄	a⁽²⁾₃₆ a⁽²⁾₄₆	A₂
		1	b⁽²⁾₁₄	b⁽²⁾₁₅	b⁽²⁾₁₆
				a⁽³⁾₄₄	a⁽³⁾₄₆	А₃
			1	b⁽³⁾₁₅	b⁽³⁾₁₆
1	1	1	1	x₄ x₃ x₂ x₁		В