Пример 7

Тема: Исследование функций с помощью второй производной.

Рассматриваемые вопросы:

1. Асимптоты кривых,

2. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба,

3. Полное исследование функции.

Пример 1. Найти наклонные асимптоты графика y = .

Попробуем отыскивать сразу оба предела, и при x + , и при x - .

k = = = 2;

b = [ - 2x] = = = = 1.

Итак, и при x + , и при x - имеем k = 2 и b = 1, так что обе наклонные асимптоты совпадают друг с другом и имеют уравнение y = 2x + 1, то есть, фактически, асимптота только одна.

Имеется также вертикальная асимптота

Рис.1. График y = и его наклонная асимптота

Пример 2. Найти асимптоты графика функции f (x) = 2 - x.

Покажем, что обе её наклонные асимптоты существуют, но не совпадают друг с другом. Сначала найдём асимптоту y = kx + b при x + . Согласно доказанной теореме, имеем:

k = = (2 - 1) = 2 - 1 = 1;

Т. о., при x + наклонной асимптотой служит прямая y = x + 1.

Теперь найдём асимптоту при x - . Имеем:

k = = (2 - 1).

Поскольку x - , мы можем считать, что x < 0. В полученной дроби поделим числитель и знаменатель на положительное число (- x). Тогда под корнем нужно будет поделить на (- x)² = x², и получится:

(2 - 1) = (- 2 - 1) = - 2 - 1 = - 3.

Вычисление b проводятся аналогично. При этом получается b = - 1, так что наклонная асимптота при x - имеет уравнение y = - 3x - 1.

Рис.2. График y = 2 - x и его две наклонных асимптоты

Пример 3. Исследовать график функции f (x) = на выпуклость и вогнутость.

1). Поскольку знаменатель положителен при всех x, область определения функции — вся ось Ox.

2). Функция f (x) — нечётная, поскольку при смене знака x числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда f (- x) = - f (x). Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.

3). Найдём производные:

f'(x) = = = .

f''(x) = = .

Знаменатель этой дроби положителен при всех x. Числитель имеет корни x = 0 и x = ±, при этом f''(x) > 0 на интервалах (- ; - ) и (0;) — на этих интервалах функция выпукла.

На интервалах (- ;0) и (; + ) выполняется обратное неравенство f''(x) < 0, здесь функция вогнута.

Все три точки, в которых f''(x) = 0, то есть точки - , 0, , являются точками перегиба.

8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:

Рис.3. График функции f (x) =

Пример 4. Провести полное исследование функцию f (x) = и построить её график.

1). Заметим, что знаменатель имеет корни 1 и 2, так что функцию можно представить в виде f (x) = .

Теперь легко видеть, что области определения функции не принадлежат только точки 1 и 2:

(f )= {1;2} = (- ;1) (1;2) (2; + ).

Область значений (f ) найти без всяких вычислений мы не можем; отложим этот вопрос до нахождения локальных экстремумов.

2). Поскольку область определения (f ) не симметрична относительно точки 0, функция не может быть ни чётной, ни нечётной. Очевидно также, что она не периодична (хотя бы потому, что её область определения не имеет периодической структуры).

3). Область определения этой элементарной функции имеет две граничных точки: 1 и 2.

При x1 значение числителя стремится к 1² + 1 = 2, а знаменателя — к 0, поэтому f (x) при x1. Значит, вертикальная прямая x = 1 — это вертикальная асимптота графика y = f (x).

При x1 - (то есть в достаточно малой левой окрестности точки 1) числитель положителен, а знаменатель состоит из двух отрицательных сомножителей, откуда следует, что f (x) + при x1 -.

При x1 + числитель снова положителен, а в знаменателе множитель x - 1 положителен, а x - 2 отрицателен. Получаем, что f (x) - при x1 +.

При x2 предел числителя равен 2² + 2 = 6, а знаменателя — нулю, поэтому f (x) при x2. Тем самым, вертикальная прямая x = 2 служит второй вертикальной асимптотой графика y = f (x).

При x2 - числитель положителен, а знаменатель отрицателен, поскольку x - 1 > 0, а x - 2 < 0. Отсюда следует, что f (x) - при x2 -.

При x2 + числитель снова положителен, а в знаменателе оба множителя положительны. Получаем, что f (x) + при x2 +.

4). Поскольку числитель и знаменатель — многочлены одной и той же (второй) степени, то легко видеть, что f (x) имеет предел при x±:

= = = 1.

Следовательно, горизонтальная прямая y = 1 служит горизонтальной асимптотой графика как при x - , так и при x + . (Искать наклонную асимптоту в виде y = kx + b и находить k и b по общим формулам нам теперь нет никакой необходимости.)

5). Найдём точки пересечения графика с осями координат. Поскольку f (0) = 0, то график пересекает ось Oy (и, одновременно, ось Ox) в начале координат.

Приравнивая числитель к нулю, получаем уравнение x² + x = 0, которое имеет два корня: x = 0 и x = - 1. Значит, график пересекает ось Ox в этих двух точках (одну из них мы уже отметили ранее).

Пользуясь методом интервалов (известным из школьной программы), определим знак функции на интервалах между корнями и точками разрыва. Таких интервалов получается пять:

x	(- ; - 1)	(- 1;0)	(0;1)	(1;2)	(2; + )
y	>0	<0	>0	<0	>0

6). Найдём производную: f'(x) = .

Найдем точки, подозрительные на экстремум.

а) точки, в которых f'(x)=0, т.е. и ,

б) точки, в которых производная обращается в бесконечность, т.е. и

			1				2
<0		>0		>0		<0		<0
	min				max

В точке x₁ убывание функции сменяется возрастанием. При этом f (x) непрерывна в точке x₁, как любая элементарная функция в любой точке своей области определения. Значит, x₁ — точка локального минимума. Значение функции в этой точке минимума равно

f_min = f (x₁) = = 4 - 7 - 0,2.

В точке x₂ возрастание функции сменяется убыванием. При этом функция f (x) непрерывна в точке x₂ (f ). Значит, x₂ — точка локального максимума. Значение функции в точке максимума равно

f_max = f (x₂) = = - 4 - 7 - 13,8.

Теперь мы можем записать область значений функции: это

(f )= (- ;f_max] [f_min; + ) (- ; - 13.8] [- 0.2; + ).

7). Найдём вторую производную:

f''(x) = 4.

Для нахождения интервалов выпуклости нужно решить неравенство f''(x) > 0.

Числитель g(x)=2x³ - 3x² + x + 5 = 0 целых корней не имеет. Вычисляя его значения в некоторых целых точках, например,

g(- 2) = - 25; g(- 1) = - 1; g(0) = 5; g(1) = 5; g(2) = 11,

мы начинаем подозревать, что уравнение имеет только один корень x₀, лежащий на интервале (- 1;0), причём ближе к точке -1, чем к 0. (Действительно, если применить какой-либо из методов приближённого нахождения корней алгебраического уравнения, мы получим, что x₀ - 0.919).

Заметим, что числитель меняет знак с - на + при переходе через точку x₀.

Поскольку знаменатель содержит нечётные степени биномов (x – 1) и (x – 2), то они также меняют знак при переходе, соответственно, через точки 1 и 2.

Итак, f''(x) меняет знак при переходе через три точки: x₀, 1 и 2. Из этих трёх точек функция f (x) непрерывна только в точке x₀, так что это единственная точка перегиба.

			1		2
<0	0	>0		>0		<0
вогн.	перегиб	выпук.		вогнут.		выпук.

8). С учётом предыдущих пунктов строим график функции y = f (x).

Рис.4. График функции y =

Глядя на график, замечаем, что для полноты картины хорошо бы ещё найти ту точку, где график пересекается с горизонтальной асимптотой y = 1. Для этого решим уравнение f (x) = 1, то есть = 1.

Его решением служит число x = . Отметим эту точку на оси Ox. Теперь наш чертёж отмечает все особенности графика.

Пример 5. Провести полное исследование функции f (x) = (x² - 2x)e^x и построить её график.

1). Ясно, что (f )= , поскольку оба сомножителя в выражении f (x) определены при любом x. Область значений (f ) найдём после того, как отыщем локальные экстремумы функции.

2). Функция не является ни чётной, ни нечётной; не является она и периодической.

3). Область определения не имеет граничных точек, значит, нет и вертикальных асимптот графика.

4). Будем искать наклонные асимптоты в виде y = kx + b. Коэффициент k найдём по формуле k = :

при x + имеем k = = (x - 2)e^x = + ,

так что при x + асимптоты нет, причём функция f (x) стремится к + при x+.

При x - имеем: k = = = = 0

(для раскрытия неопределённости вида [] мы применили правило Лопиталя). Теперь найдём значение b по формуле b = [f (x) - kx]. Имеем:

b = [f (x) - 0x] = = = = 0

(здесь мы применили правило Лопиталя два раза подряд). Таким образом, k = 0 и b = 0, так что при x - асимптота имеет уравнение y = 0, то есть совпадает с осью Ox.

5). Точка пересечения с осью Oy равна f (0) = 0. Заодно нашли одну точку пересечения с осью Ox. Чтобы найти все точки пересечения графика с осью Ox, решаем уравнение (x² - 2x)e^x = 0. Поскольку e^x 0, решаем уравнение x² - 2x = x(x - 2) = 0, откуда получаем два корня: x = 0 и x = 2. Так как точек разрыва нет, то имеем три интервала знакопостоянства функции:

x	(- ; 0)	(0; 2)	(2; + )
y	>0	<0	>0

6). Вычислим производную:

f'(x) = (x² - 2x)e^x + (2x - 2)e^x = (x² - 2)e^x.

Интервалы возрастания задаются неравенством f'(x) > 0, то есть, с учётом того, что e^x > 0, неравенством x² - 2 > 0. Решением этого неравенства служит множество (- ; - ) (; + ).

	-	(-,)
>0		<0		>0
	max		min

f_max = f (- ) = (2 + 2)e^-1.17.

f_min = f () = (2 - 2)e - 3.41.

Теперь мы можем примерно представить, как идёт график функции:

Рис.5. Эскиз графика функции f (x)

Становится очевидно, что область значений функции — это

(f )= [f_min; + ) [- 3.41; + ).

7). По эскизу графика видно, что где-то в местах, обведённых кружочками, должно смениться направление выпуклости, то есть должны быть точки перегиба. Для исследования этого найдём вторую производную:

f''(x) = (x² - 2)e^x + 2xe^x = (x² + 2x - 2)e^x.

Решим неравенство f''(x) > 0, эквивалентное неравенству x² + 2x - 2 > 0. Решением этого квадратного неравенства служит объединение интервалов

(- ; - 1 - ) (- ; - 2.7) и (- 1 + ; + ) (0.7; + ).

	-2,7	(-2,7;0,7)	0,7	(0.7; + )
>0	0	<0	0	>0
выпук.	перегиб	вогнут.	перегиб	выпук.

f (x₁) = f (-2,7) =(6 + 4)e^{-1 -}0.84;

f (x₂) = f (0,7) = (6 - 4)e^{-1 +}- 1.93.

8). Осталось построить окончательный чертёж:

Рис.6. График функции f (x) = (x² - 2x)e^x

Упражнения и задачи для самостоятельной работы.

Упражнение 1.

Найдите область определения и вертикальные асимптоты графика функции

f (x) = .

Решение: Область определения составляют все точки оси Ox, кроме 0, -1 и 2:

(f )= { - 1;0;2} = (- ; - 1) (- 1;0) (0;2) (2; + ).

Заметим теперь, что при x = - 1 числитель также обращается в 0:

(- 1)³ + 2(- 1)² - 1 = - 1 + 2 - 1 = 0.

Значит, многочлен, стоящий в числителе, делится нацело на x - (- 1) = x + 1. Деление столбиком даёт:

x³ + 2x² - 1 = (x + 1)(x² + x - 1).

Значит, при x - 1 дробь f (x) можно сократить на x + 1:

f (x) = = ,

откуда видно, что при x - 1 функция стремится к = - , а не к .

При x, равным двум другим корням знаменателя, 0 и 2, числитель в 0 не обращается, а равен -1 и 15 соответственно. Значит, при x 0 и при x2 f (x), и прямые x = 0 и x = 2 — вертикальные асимптоты.

Ответ: (f )= { - 1;0;2} = (- ; - 1) (- 1;0) (0;2) (2; + );

вертикальные асимптоты: x = 0 и x = 2.

Упражнение 2.

Найдите вертикальные асимптоты графиков функций:

а) f (x) = ; б) f (x) = ; в) f (x) = .

Ответы: а) x = 0; б) x = 1; в) вертикальных асимптот нет.

Упражнение 3.

Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графика функции

f (x) = .

Решение:

Найдём k и b:

k = = = = 3;

b = [ - 3x] = =
= = = - 11.

Итак, прямая y = 3x - 11 служит наклонной асимптотой графика y = .

Ответ: наклонная асимптота при x± имеет уравнение y = 3x - 11.

Упражнение 4.

Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графиков функций:

а) f (x) = ; б) f (x) = ; в) f (x) = .

Ответы: а) y = - x + 1 при x±; б) y = x + при x±; в) y = - 1 при x - и y = 1 при x + .

Упражнение 5.

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции

f (x) = - x⁴ + 4x² - 3.

Решение:

Найдём вторую производную:

f'(x) = - 4x³ + 8x;f''(x) = - 12x² + 8 = 4(- 3x² + 2).

Неравенство -3x² + 2 > 0 имеет решение x (- ;); на этом интервале функция выпукла. Неравенство -3x² + 2 < 0 имеет решение x (- ; - ) (; + ); на этих двух интервалах функция вогнута.

В точках x = - и x = функция меняет направление выпуклости, так что эти точки являются точками перегиба.

Ответ: Интервал выпуклости: (- ;);

интервалы вогнутости: (- ; - ) и (; + ); точки перегиба: - и .

Упражнение 6.

Найдите интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба следующих функций:

а) f (x) = x⁶ - 3x⁴; б) f (x) = (x² + 1)e^x; в) f (x) = .

Ответы: а) Интервалы выпуклости: (- ; - ) и (; + );

интервал вогнутости: (- ;); точки перегиба: - и .

б) Интервалы выпуклости: (- ; - 3) и (- 1; + ); интервал вогнутости: (- 3; - 1); точки перегиба: -3 и -1.

в) Интервалы выпуклости: (- ; - 1) и (1; + ); интервал вогнутости: (- 1; - 1); точек перегиба нет.

Упражнение 7.

Проведите полное исследование функций и постройте их графики (в затруднительных случаях характерные точки можно находить приближённо):

а) f (x) = ; б) f (x) = x²e^-^x²; в) f (x) = x - 2arctg x.

Ответы: а) Функция нечётная; (f )= (- ; - ) (- ;) (; + );

вертикальные асимптоты x = - и x = , наклонная асимптота y = - x. Точка локального максимума x = 3, при этом f_max = - ; точка локального минимума x = - 3, при этом f_min = . Единственная точка перегиба x = 0.

Рис.6. График функции f (x) =

б) Функция чётная; (f )= ; горизонтальная асимптота y = 0. Точки локального максимума x = ±1; значение в этих точках f_max = ; точка локального минимума x = 0. Четыре точки перегиба: x = ±.

Рис.7. График функции f (x) = x²e^-x2

в) Функция нечётная; = ; асимптоты y = x + при x - и y = x - при x + . Точка локального максимума x = - 1, при этом f_max = - 1; точка локального минимума x = 1, при этом f_min = 1 - . Единственная точка перегиба x = 0.

Рис.8. График функции f (x) = x - 2arctg x

Задача 1. Провести полное исследование функции f (x) = и построить ее график.

Рассмотрим функцию f (x) = . Мы можем заметить, что f (x) — чётная функция, поскольку она зависит только от x² и, следовательно, не меняет знак при смене знака x. Заметим также, что f (0) = 1.

Знаменатель обращается в 0 при x = ±1, то есть f (x) при x1 и при x - 1. Тем самым, прямые x = 1 и x = - 1 — это вертикальные асимптоты. Подробнее разберём порведение функции при приближении x к ±1. Если x1 +, то x > 1 и, следовательно, x² - 1 > 0. Числитель x² + 1 > 0 при всех x , так что дробь f (x) положительна. Значит, f (x) + при x1 +. При x1 - (и x 0) имеем 0 x < 1, поэтому x² - 1 < 0 и f (x) < 0, так что f (x) - при x1 -. Вследствие чётности функции получаем также, что f (x) + при x - 1 - и f (x) - при x - 1 +.

Найдём теперь наклонные асимптоты.

k = = = 0;

b = [ - 0^.x] = = 1.

Т. о., асимптоты при x + и при x - совпадают и имеют уравнение y = 1.

Суммируя сказанное, мы можем представить себе, что график функции ведёт себя примерно так:

Рис.9. График функции f (x) =

Задача 2. Исследовать функцию .

Решение. 1) Область существования функции .

2) Функция четная, так как .

Функция имеет критическую точку x₁= 0, в которой производная не существует, но в этой точке функция уходит на -¥, следовательно, функция не имеет ни максимумов, ни минимумов.

4) Функция убывает, когда и возрастает, если .