§9. Неопределенный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех xÎ(a;b) выполняется равенство F¢(x) = f(x).

Например, для функции x2 первообразной будет функция x3/3.

Если для F(x) установлено равенство dF(x) = f(x)dx, то F(x) ¾ первообразная для f(x), так как .

Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции.

 

Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x) + C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b).

Доказательство.

                                   (F + C)¢ = F¢ + C¢ = f + 0 =  f

По определению F + C  ¾ первообразная для f.

Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы.

Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g¢(x) = 0.

Доказательство.

Так как g(x) = C, справедливы равенства: g¢(x) = C¢ = 0 (здесь, как и ниже, через C обозначено произвольно выбранное число).

Если g¢(x) = 0 при всех xÎ(a;b), то g(x) = C на (a;b).

Доказательство.

Пусть g¢(x) = 0 во всех точках (a;b). Зафиксируем точку x1Î(a;b). Тогда для любой точки xÎ(a;b) по формуле Лагранжа имеем

                                      g(x) – g(x1) = g¢(x)(x – x1)

Так как xÎ(x; x1), а точки x и x1 принадлежат промежутку (a;b), то g¢(x) = 0, откуда следует, что g(x) – g(x1)=0, то есть g(x) = g(x1)=const.

 

Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G = F + C, где C – число.

Доказательство.

Возьмем производную от разности G – F: (G – F)¢ = G¢ – F¢ =
= f – f = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C ¾ число, то есть G = F + C.

Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b) называется неопределенным интегралом и обозначается òf(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то òf(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число.

Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.

Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F¢(x) = f(x) соответствует формула òf(x) dx = F(x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:

 

1) ò dx = x + C;

 7) ò cosx dx = sinx + C;

2) ò xadx=(a¹1);

 8) ;

3) ;

 9) ;

4) ò exdx =ex+C;

10)

5) ò axdx =axlogae+C   (a¹1) ;

11)

6) ò sinx dx=-cosx + C;

12) .

 

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

 

1) ( òf(x) dx )¢=f(x);

4) òd f(x)=f(x)+C ;

2) òf¢ (x) dx= f(x)+C ;

5) òkf(x)dx=kòf(x) dx;

3) d òf(x) dx= f(x)dx;

6) ò(f(x)+g(x))dx=ò f(x) dx+òg(x) dx ;

7)   Если òf(x) dx = F(x) + C, то òf(ax+b) dx =

(a ¹ 0).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

 

§10. Замена переменной в неопределенном интеграле

Если функция f(x) непрерывна, а функция j(t) имеет непрерывную производную j¢(t), то имеет место формула

                           ò f(j(t))j¢(t) dt = ò f(x) dx,  где x = j(t).

Можно привести примеры вычисления интеграла с помощью перехода от левой части к правой в этой формуле, а можно привести примеры обратного перехода.

Примеры.

1. I = ò cos(t3) t2 dt.  Пусть t3 = x, тогда dx = 3t2dt или t2dt = dx/3.

                 .

2. . Пусть ln t = x, тогда dx = dt/t.

3. . Пусть x = cos t, тогда dx = - sint dt, и

.

4. . Пусть x = sin t, тогда dx = cos dt, и

                        .

 

§11. Формула интегрирования по частям

Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда

                                             (uv)¢ = u¢v + v¢u

Отсюда следует

                      ò (uv)¢dx = ò (u¢v + v¢u )dx = ò u¢v dx + ò v¢u dx

или

                                       ò uv¢ dx = uv – ò u¢v dx .

Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям:

                               ò u(x)dv(x) = u(x) v(x) – ò v(x)du(x)

Приведем примеры применения формулы интегрирования по частям.

Примеры.

1. I = ò x cosx dx. Пусть u = x; dv = cosx dx, тогда du = dx; v = sinx. Отсюда по формуле интегрирования по частям получается:

                          I = x sinx – ò sinx dx = x sinx + cosx + C.

2. I = ò (x2 – 3x + 2) e5xdx. Пусть x2 – 3x + 2 = u; e5xdx = dv. Тогда
du = (2x – 3) dx; .

                           .

К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая 2x - 3 = u; e5xdx = dv. Отсюда следует: du = 2dx; , и окончательно получаем:

               

                    .

3. ;

;

                          

                           

                               .

В заключение покажем метод вычисления неопределенного интеграла, стоящего в приведенной выше таблице под номером 12:

.

Представим дробь  в виде суммы двух дробей:  и , и попытаемся найти неизвестные величины параметров A и B. Из равенства  получим систему уравнений

                                                

с решением . Отсюда следует:

.

Полученный интеграл в обиходе обычно называют “высоким логарифмом”. Метод, которым он был найден, называется методом “неопределенных коэффициентов”. Этот метод применяется при вычислении интегралов от дробей с числителем и знаменателем в виде многочленов.