§12. Определенный интеграл

Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке [a;b] произвольные числа x₁, x₂, x₃, ¼, x_n_-1, удовлетворяющие условию:
a< x₁,< x₂<¼< x_n_-1,<b. Эти числа разбивают промежуток [a;b] на n более мелких промежутков: [a;x₁], [x₁;x₂], ¼, [x_n_-1;b]. На каждом из этих промежутков выберем произвольно по одной точке: c₁Î[a;x₁], c₂Î[x₁;x₂], ¼, c_nÎ[x_n_-1;b].

Введем обозначения: Dx₁ = x₁– a; Dx₂ = x₂– x₁; ¼, Dx_n = b – x_n-₁.

Составим сумму:

Она называется интегральной суммой функции f(x) по промежутку [a;b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точек c_i.

Каждое слагаемое интегральной суммы представляет собой площадь прямоугольника, покрытого штриховкой на рисунке 1.

Введем обозначение: l = max(Dx_i), i = 1, 2, ¼, n.. Величину l иногда называют параметром разбиения.

Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что величина l стремится к нулю. Определенным интегралом

от функции по промежутку [a;b] называется предел, к которому стремится интегральная сумма при этом процессе, если предел существует:

Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального разбиения промежутка [a;b] и выбора точек c_i.

Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b ¾ верхним пределом интегрирования.

Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), отрезком [a;b] оси X, и прямыми x = a; x = b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. На рисунке 2 криволинейная трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой

Если f(x) < 0 во всех точках промежутка [a;b] и непрерывна на этом промежутке (например, как изображено на рисунке 3), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком [a;b] горизонтальной оси координат, прямыми x = a; x = b и графиком функции y = f(x), определяется формулой

Перечислим свойства определенного интеграла:

1) (здесь k ‑ произвольное число);

2) ;

3) ;

4) Если cÎ[a;b], то .

Из этих свойств следует, например, что .

Все приведенные выше свойства непосредственно следуют из определения определенного интеграла.

Оказывается, что формула из пункта 4 справедлива и тогда, когда cÏ[a;b]. Пусть, например, c>b, как изображено на рисунке 4. В этом случае верны равенства

§13. Определенный интеграл как функция верхнего предела

Пусть функция f(t) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число

определив тем самым на промежутке функцию I(x), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x. Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента Dx:

DI(x) = I(x + Dx) – I(x) =

Как показано на рисунке 1, величина последнего интеграла в формуле для приращения DI(x) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах Dx (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f(x)Dx. Отсюда получаем соотношение

В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина Dx.

Из сказанного следует формула для производной функции I(x):

Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x. Отсюда следует, что функция является первообразной для функции f(x), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде

. (1)

Пусть F(x) тоже является первообразной для функции f(x), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I(x) = F(x) + C, где C — некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид

I(x) – I(a) = F(x) + C – (F(a) +C) = F(x) – F(a). (2)

Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]:

которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь F(x) — любая первообразная функции f(x).

Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f(x) по промежутку [a;b], нужно найти какую-либо первообразную F(x) функции f(x) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a. Разность этих значений первообразной принято обозначать символом .

Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Примеры. 1. .

2. .

Сначала вычислим неопределенный интеграл от функции f(x) = xe^x. Используя метод интегрирования по частям, получаем: . В качестве первообразной функции f(x) выберем функцию e^x(x – 1) и применим формулу Ньютона-Лейбница:

I = e^x(x – 1) = 1.

При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле:

Здесь a и b определяются, соответственно, из уравнений j(a) = a; j(b) = b, а функции f, j, j¢ должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.

Пример:.

Сделаем замену: ln x = t или x = e^t, тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e, то t = 1. В результате получим:

При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.

§14. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Если положить промежуток интегрирования бесконечным, то приведенное выше определение определенного интеграла теряет смысл, например, потому что невозможно осуществить условия n®¥; l®0 для бесконечного промежутка. Для такого интеграла требуется специальное определение.

Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на полубесконечном промежутке [a;¥), тогда несобственным интегралом с бесконечным пределом называется , если предел существует. Если этот предел не существует, то не существует и несобственный интеграл. В этом случае принято говорить, что несобственный интеграл расходится. При существовании предела говорят, что несобственный интеграл сходится.

Аналогично

и .

Примеры: 1. . Очевидно: , откуда следует

2. ; этот предел не существует, следовательно, не существует или расходится интеграл I.

3. ; здесь предел также не существует, и интеграл расходится.