Комплексные числа

Определение1. Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел (а,b) : z = (a,b) (термин «упорядоченная» означает, что в записи комплексного числа важен порядок чисел а и b: (a,b)≠(b,a) ). При этом первое число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается a = Re z, а второе число b называется мнимой частью z: b = Im z.

Определение 2. Два комплексных числа z₁ = (a₁ , b₁) и z₂ = (a₂ , b₂ ) равны тогда и только тогда, когда у них равны действительные и мнимые части, то есть a₁ = a₂, b₁ = b₂.

Действия над комплексными числами.

1. Суммой комплексных чисел z₁ = (a₁ , b₁) и z₂ = (a₂ , b₂ ) называется комплексное число z = (a,b) такое, что a = a₁ + a₂ , b = b₁ + b₂ . Свойства сложения: а) z₁ + z₂ = z₂ + z₁;

б) z₁ + (z₂ + z₃ ) = (z₁ + z₂ ) + z₃;

в) существует комплексное число 0 = (0,0):

z + 0 = z для любого комплексного числа z.

2. Произведением комплексных чисел z₁ = (a₁ , b₁) и z₂ = (a₂ , b₂ ) называется комплексное число z = (a,b) такое, что

a = a₁a₂ – b₁b₂ , b = a₁b₂ + a₂b₁ .

Свойства умножения: а) z₁z₂ = z₂z₁ ;

б) z₁ (z₂ z₃) = (z₁ z₂) z₃,

в) (z₁ + z₂) z₃ = z₁ z₃ + z₂ z₃ .

Замечание. Подмножеством множества комплексных чисел является множество действительных чисел, определяемых как комплексные числа вида (а,0). Можно убедиться, что при этом определение операций над комплексными числами сохраняет известные правила соответствующих операций над действительными числами. Кроме того, действительное число 1 = (1,0) сохраняет свое свойство при умножении на любое комплексное число: 1∙ z = z.

Определение 3. Комплексное число (0, b) называется чисто мнимым. В частности, число (0,1) называют мнимой единицей и обозначают символом i.

Свойства мнимой единицы:

1) i∙i=i² = -1;

2) чисто мнимое число (0,b) можно представить как произведение действительного числа (b,0) и i : (b,0) = b∙i.

Следовательно, любое комплексное число z = (a,b) можно представить в виде: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Определение 4. Запись вида z = a + ib называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Замечание. Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.

Определение 5. Комплексное число называется комплексно сопряженным числу z = a + ib.

3. Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению: z =(a,b) называется разностью комплексных чисел z₁ = (a₁ , b₁) и z₂ = (a₂ , b₂ ), если a = a₁ – a₂ , b = b₁ – b₂.

4. Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению: число z = a + ib называется частным от деления z₁ = a₁ + ib₁ и z₂ = a₂ + ib₂ (z₂ ≠ 0), если z₁ = z∙z₂. Следовательно, действительную и мнимую части частного можно найти из решения системы уравнений: a₂ a – b₂ b = a₁ , b₂ a + a₂ b = b₁.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Комплексное число z = (a,b) можно представить в виде точки на плоскости с координатами (a,b) или вектора с началом в начале координат и концом в точке (a,b).

При этом модуль полученного вектора называется модулем комплексного числа, а угол, образованный вектором с положительным направлением оси абсцисс,- аргументом числа. Учитывая, что a = ρ cos φ, b = ρ sin φ, где ρ = | z | - модуль z, а φ = arg z – его аргумент, можно получить еще одну форму записи комплексного числа:

Корни многочленов.

Рассмотрим в комплексной области многочлен, т.е. функцию вида

, (1)

где - комплексные числа.

Числа называются коэффициентами многочлена, а натуральное число n – его степенью.

Определение 1. Два многочлена P_n (z) и равны тогда и только тогда, когда m=n, a₀ = b₀ , a₁ = b₁ ,…, a_n = b_n .

Определение 8.2. Число z₀ называется корнем многочлена (1), если P_n (z₀) = 0.

Теорема 1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена P_n(z) на z – z₀ ( z₀ – не обязательно корень многочлена) равен P(z₀).

Доказательство.

Разделив P(z) на z – z₀ , получим: P(z) = Q(z)(z – z₀) + r, где число r – остаток от деления, а Q(z) – многочлен степени, меньшей n. При подстановке в это равенство z = z₀ найдем, что r = P(z₀), что и требовалось доказать.

Теорема 2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен в комплексной области имеет корень (без доказательства).

Разложение многочлена в комплексной области на линейные множители.

Пусть P_n (z) – многочлен степени n, а z₁ – его корень. Тогда по теореме Безу P_n (z) можно представить в виде:

P_n (z) = (z – z₁) Q_n-1 (z), где Q_n-1 – многочлен степени n – 1.

Если при этом Q_n-1 (z₁) = 0, его вновь можно представить как

( z – z₁ )Q_n-2 (z), a P_n (z) = (z – z₁)²Q_n-2 (z).

Определение 3. Натуральное число k₁ называется кратностью корня z₁ многочлена P_n (z), если этот многочлен делится на , но не делится на . Корень кратности 1 называется простым, а корень кратности, большей 1, - кратным.

Итак, если z₁ – корень P_n кратности k₁ , то

Из основной теоремы алгебры следует, что многочлен тоже имеет корень. Обозначим его z₂ , а его кратность k₂ . Тогда а многочлен

(2)

где

Следовательно, в комплексной области всякий многочлен можно разложить на линейные множители разной кратности.

Разложение многочлена с действительными коэффициентами

на линейные и квадратичные множители.

Теорема 3: Если действительный многочлен P_n (z) имеет комплексный корень кратности k, то он имеет также комплексный корень , ему сопряженный той же кратности (без доказательства).

По этой теореме в разложении (2) многочлена с действительными коэффициентами на линейные множители можно выделить сомножители двух типов:

1. действительные корни (r<n), которые дают в разложении слагаемые типа ;

2. комплексные корни , которые в разложении дают слагаемые типа . Действительно,

- квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом, где

Таким образом, формула (2) разложения многочлена с действительными коэффициентами от действительной переменной P_n (x) имеет вид:

(3)

то есть всякий многочлен на множестве действительных чисел можно разложить на множители степени не выше второй.

Теперь приступим к интегрированию простейших рациональных дробей.