Настоящее пособие составлено в соответствии с программой курса “Высшая математика для экономистов”. Его задачей является не только изложение основных сведений из высшей математики, а и подготовка студентов к самостоятельной работе с математической литературой. Излагаются вопросы дифференциального и интегрального исчисления функций одного переменного, простейшие сведения о функциях многих переменных, дифференциальные уравнения и ряды и некоторые вопросы линейной алгебры.

Учебное пособие предназначено для студентов экономических специальностей.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В В Е Д Е Н И Е

1. М н о ж е с т в а

2. Способы задания множеств

3. Операции над множествами

ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1.1. Прямоугольные координаты точки на плоскости

1.1.2. Расстояние между двумя точками на плоскости

1.1.3. Линия как множество точек

1.1.4. Прямые в R²

1.1.4.1. Взаимное расположение двух прямых в R²

1.2. Линии второго порядка

1.2.1. Окружность

1.2.2. Центральные кривые второго порядка

1.2.3. Кривые эллиптического и гиперболического типа

1.2.4. Фокальные свойства центральных кривых второго порядка

1.2.5. Асимптоты гиперболы

1.2.6. Нецентральные кривые второго порядка

1.2.7. Фокальное свойство параболы

ГЛАВА II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

2.1. Сходимость в пространстве Rⁿ

2.1.1. Окрестности и пределы последовательностей точек

2.1.2. Основные теоремы для последовательностей

2.1.3. Сходимость последовательностей в пространстве

2.1.3.1. Различные типы множеств

2.2. Функция

2.2.1. Понятие функции

2.2.2. Способы задания функций

2.2.3. Понятие функции нескольких переменных

2.2.4. Неявные функции

2.2.5. Сложные функции

2.2.6. Элементарные функции и их классификация

2.2.7.Трансцендентные функции

2.3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

2.3.1. Определение предела функции

2.3.2. Односторонние пределы функции

2.3.3. Свойства пределов функции

2.3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

2.4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

2.4.1. Точки непрерывности и точки разрыва функции

2.4.2. Основные теоремы о непрерывных функциях

2.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

2.5.1. Производная функции в точке

2.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

2.7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА

2.8. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ Функций

2.8.1 Производная обратной функции

2.8.2. Производная и дифференциал сложной функции

2.9. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

2.10. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

2.10.1. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

2.10.2. Возрастание и убывание функции одной переменной

2.10.3. Понятие о правиле Лопиталя

2.11. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

2.11.1. Вывод формулы Тейлора для многочлена

2.11.2. Бином Ньютона

2.11.3. Формула Тейлора для функции

2.11.4. Экстремум функции одной переменной

2.12. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ

2.12.1. Выпуклость и вогнутость графика функции.

Точки перегиба

2.12.2. Асимптоты

2.12.3. Построение графиков

2.13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

2.13.1. Частные производные первого порядка

2.13.2. Геометрический смысл частных производных

2.13.3. Полный дифференциал функции

2.14. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПО ДАННОМУ

НАПРАВЛЕНИЮ

2.14.1. Производная по направлению

2.14.2. Градиент и его свойства

2.14.3. Частные производные высших порядков

2.14.4. Признак полного дифференциала

2.15. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

2.15.1. Максимум и минимум функции нескольких переменных

2.15.2. Абсолютный экстремум

2.15.3. Метод наименьших квадратов

ГЛАВА III

Интегральное исчисление

3.1. Определение и свойства неопределенного интеграла

3.1.1. Первообразная и неопределенный интеграл

3.1.1.2. Неопределенный интеграл

3.1.1.3. Основные свойства неопределенного интеграла

3.1.1.4. Таблица простейших неопределенных интегралов

3.2. Методы интегрирования (основные)

3.2.1. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента

3.2.2. Понятие об основных методах интегрирования

3.2.3. Интегрирование рациональных дробей с квадратным знаменателем

3.2.4. Интегрирование простейших иррациональностей

3.2.5. Интегрирование тригонометрических функций

3.2.6. Интегралы от некоторых трансцендентных функций

3.3. Замечания об интегралах, не выражающихся через элементарные функции

3.4. Определенный интеграл

3.4.1. Определение интеграла по Риману

3.4.2. Свойства определенного интеграла

3.4.3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

3.4.4. Формула Ньютона-Лейбница

3.4.5. Геометрический смысл определенного интеграла

3.4.6. Теорема о среднем для определенного интеграла

3.5. Методы вычисления определенного интеграла

3.5.1. Замена переменного

3.5.2. Интегрирование по частям

3.5.3. Приближенное вычисление определенного интеграла

3.5.4. Несобственные интегралы

3.6. Приложения определенного интеграла

3.6.1. Площадь плоских фигур

3.6.2. Объем тела вращения

3.6.3. Длина дуги

3.6.4. Дифференциал дуги

3.7. Понятие о кратных интегралах

3.7.1. Основные способы вычисления двойного интеграла

3.7.1.1. Вычисление площадей при помощи двойного интеграла

3.8. Понятие о тройном интеграле

ГЛАВА IV

Дифференциальные уравнения

4.1. Понятие о дифференциальном уравнении

4.1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

4.1.3. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

4.1.4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

4.1.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

4.2. Дифференциальные уравнения второго порядка

4.2.1. Простые случаи уравнений второго порядка

4.2.2. Случаи понижения порядка

4.2.3. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

ГЛАВА V

Ряды и понятие о сходимости рядов

5.1. Числовые ряды

5.1.1. Определение ряда и его сходимость

5.1.2. Сходимость ряда (свойства)

5.1.3. Признак сравнения рядов

5.1.4. Признак сходимости Даламбера

5.1.5. Знакопеременные ряды и абсолютная сходимость

5.1.6. Признак сходимости Лейбница для знакопеременных рядов

5.2. Понятие о функциональных рядах

5.2.1. Степенные ряды

5.2.2. Разложение данной функции в ряд

5.2.3. Ряд Маклорена

5.2.4. Ряд Тейлора

ГЛАВА VI

Линейная алгебра

6.1. Системы линейных уравнений

6.1.1. Понятие о системах линейных уравнений

6.1.2. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений со многими неизвестными

6.2. Матрицы и определители

6.2.1. Вводные замечания

6.2.2. Операции над матрицами

6.2.3. Определитель

6.2.4. Основные свойства определителей

6.2.4.1. Свойства обратной матрицы

6.3. Ранг матрицы

ГЛАВА VII

Элементы векторной алгебры

7.1. Арифметическое пространство Rⁿ

7.2. Линейные операции

7.3. Действия над векторами, заданными в координатной форме

7.4. Скалярное произведение векторов

7.5. Системы векторов

7.6. Разложение вектора по системе векторов

7.7. Линейные преобразования

7.8. Характеристические корни и собственные значения

ГЛАВА VIII

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ пространства

8.1. Прямые и плоскости в пространстве Rⁿ

8.1.1. Расстояние от точки до прямой

8.1.2. Нормированное уравнение прямой

8.2. Общее уравнение плоскости в R³

8.2.1. Угол между двумя плоскостями

8.2.2. Уравнение плоскости, проходящей через три различные

точки, не лежащие на одной прямой

8.2.3. Нормированное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости

8.3. Прямая линия R³

8.4. Выпуклые множества точек на плоскости. Неравенства

8.4.1. Неравенства

8.4.2. Выпуклые множества точек на плоскости

8.5. Выпуклые множества в пространстве. Неравенства

8.5.1. Нестрогие линейные неравенства

ПРЕДИСЛОВИЕ

В основу настоящего курса положены тексты лекций, которые автор читает на экономическом факультете Донецкого государственного университета. В последнее время в преподавании математики на экономических специальностях наметилось ряд новых тенденций, которые направлены на повышение роли математического образования в специальном образовании студентов. Изменение потребностей математического образования подчинено современным требованиям решения экономических задач на основе использования новых математических моделей и методов в сочетании с большими возможностями вычислительной техники. Эти тенденции должны находить свое отражение в программах общего курса высшей математики.

Следует отметить, что автор не претендует на оригинальность изложения и в основном придерживался программы по высшей математике для экономистов. Однако, с другой стороны, сила и общность метода дифференциального и интегрального исчисления таковы, что не познав их нельзя понять все значение математики для экономических исследований.

Поэтому значительное место, в сравнительно небольшом курсе, уделяется этим разделам, а так же обращено внимание на раздел линейной алгебры и элементы аналитической геометрии.

Основная цель этого учебного пособия - оказать помощь студентам экономических специальностей в изучении высшей математики.

Автор благодарен В.И. Пайкову за большое количество ценных замечаний и советов, а так же С.О. Пайковой за подготовку рукописи.

Введение

М

атематика - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что это общее определение математики постоянно наполняется новым содержанием.

Курс высшей математики для экономистов ставит своей целью изложение основных понятий высшей математики и их приложений в различных областях экономики.

Задачей этого курса является не только сообщение известного запаса сведений (определений, теорем, их доказательств, связей между ними, методов решения задач) и обучение их применению. В его задачу входят развитие у учащихся логического мышления и математической культуры, необходимых для изучения математики, развитие математической интуиции. Наконец, курс высшей математики идейно готовит будущих специалистов к изучению других математических методов, других математических дисциплин. Для этого по меньшей мере необходимо получение правильного представления о том, что такое математика и математическая модель, в чем заключается математический подход к изучению явлений реального мира и экономических процессов в частности.

Программа курса состоит из шести разделов - это дифференциальное исчисление; интегралы, дифференциальные уравнения и ряды; линейная алгебра, теория вероятностей, математическая статистика, математическое программирование. Для успешного освоения курса высшей математики Вам необходимо правильно организовать систематическую самостоятельную работу над учебным материалом.

Желаю успехов В.Д. Породников

В начало Далее

ПОРОДНІКОВ

Віктор Дмитрович

- кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри "Математики та математичних методів в економіці" Донецького національного університету, керівник відділу комп'ютерних технологій та комунікацій. Автор більш 50 наукових і учбово-методичних робіт, включаючи 3 навчальні посібники і 10 учбово-методичних розробок. На економічному факультеті ДонНУ з 1978р. викладає курси з теорії ймовірностей і математичній статистиці, з вищої математики, по інформатиці для економістів. Як запрошений професор читав курси прикладної статистики в Бурундійському державному університеті (1987-1991р.). Автор електронного підручника з теорії ймовірностей. Наукові праці зв'язані з дослідженням систем масового обслуговування з неординарними потоками.