МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

1. М н о ж е с т в а

Понятия множества и элемента множества являются первичными понятиями. Теория множеств как математическая дисциплина создана немецким математиком, Георгом Кантором в 1872 г. Он определил множество как « объединение в одно целое объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью ».

В первом издании “Теории множеств” Бурбаки (1939г.) имеется следующее предложение: « Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящихся в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств ».

Первичным понятием является также понятие пустого множества. Пустое множество не содержит элементов. Объекты, сущности или элементы, составляющие множество, обозначаются строчными латинскими буквами: х, а, b, ...; множество будем обозначать прописными латинскими буквами Е, N, ... . Знак Î обозначает вхождение или принадлежность.

Под множеством А = {a,b,c,...} понимается собрание (совокупность) некоторых элементов а,b,c,... . Если х есть элемент множества А, то пишут

х А

(читается: х принадлежит А); если у не является элементом множества А, то пишут

y А

(читается: у не принадлежит множеству А).

2. Способы задания множеств

а) Множество может быть задано перечислением всех его элементов.

П р и м е р ы :

1. Множество цифр: А = {0,1,2,...,9};

2. Множество лиц, присутствующих на собрании:

В = {Иванов, Сидоров, Петров, Павлов}

b) Обобщение первого способа состоит в том, что каждый элемент задаваемого множества определяется по некоторому элементу уже известного множества.

П р и м е р ы : считая известным множество действительных чисел

Z = {... -3,-2,-1,0,1,2,3,...},

определим множество степеней числа 10

D = {..., 10^-3, 10^-2,10^-1,10⁰, 10¹,10²,10³,...}

c) Другой способ состоит в описании ограничительного свойства, выделяющего элементы множества из другого более широкого или основного множества.

П р и м е р ы : 1. Считая известным множество натуральных чисел

N = {1,2,3,4,...},

определим множество четных чисел

L = {2,4,6,..., 2n+2, ...}, где n ÎN.

2. [а,b] = {х: а х b} - отрезок;

3. B - множество деревьев в парке;

4. Множество трехголовых людей пусто, т.е. оно не содержит ни одного элемента (обозначать это множество будем ).

d) Новые множества можно задавать при помощи некоторых операций над множествами.

3. Операции над множествами

Подпись: Определение 3.1 Множество А, состоящее из части элементов множества В
или совпадающее с ним, называется подмножеством
множества В; в этом случае пишут
А В. (3.1)

(читается: множество А содержится во множестве В либо равно В).

Условимся считать, что пустое множество есть подмножество любого множества.

Будем изображать, для наглядности, множества при помощи диаграммы Эйлера-Венна, изображающие эти множества и наглядно демонстрируют некоторые свойства операций над множествами.

Если а В а А,

тогда А = В.

Подпись: Определение 3.2 Под объединением (суммой) двух множеств А и В
понимается множество
С = А È В
(È - знак объединения), состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. входящих или в А, или в В, или и в А и в В одновременно. Рис.3.1.

Рис. 3.2.

Аналогично определяется объединение большего числа множеств.

П р и м е р : {1,2,3} {2,3,4} = {1,2,3,4}.

Подпись: Определение 3.3 Под пересечением (произведением) двух множеств А и В понимается множество
С = А В
( - знак пересечения), состоящее из элементов,
принадлежащих как одному, так и другому множествам, т.е. входящих и в А, и в В.

Рис. 3.3

Если множества А и В не имеют общих элементов, то их пересечение пусто:

А В = .

Аналогично определяется пересечение большего числа множеств.

П р и м е р :

{1,2,3} {2,3,4} = {2,3} = С.

$Подпись: Определение 3.4. Под разностью двух множеств А и В понимается множество С = А \ В (\ - знак разности), состоящее из элементов, принадлежащих А, но не входящих в В.$