Глава VIII

Геометрические пространства

 

1. Прямые и плоскости в пространстве Rn

 

         Изучим пространство Rn с другой точки зрения. Будем рассматривать его элементы не как векторы, а как точки, то есть А(х1, х2, .., хn), где хi - координаты точки А (i = 1, 2, ..., n). О(0,...,0) - назовем началом координат.

Элементы R, R2, R3 можно интерпретировать как координаты точек соответственно на прямой, на плоскости, в пространстве; поэтому R принято называть числовой прямой, R2 - числовой плоскостью, R3 - числовым пространством.

         Как мы уже знаем, при n>3 непосредственное обращение к геометрии невозможно, но многие факты, относящиеся к Rn, носят общий характер, не зависящий от n. Так свойства решений линейных уравнений и методы их исследования не зависят от числа переменных. Тогда можно сказать, что в этом смысле пространство Rn обладает геометрическими свойствами, подобными свойствам пространств R, R2, R3. Множества точек в R4 (“фигуры”) будем задавать с помощью уравнений, неравенств с n переменными и их систем как области их решений.

 

Определение 1. Область решений совместной системы линейных уравнений с n переменными ранга r назовем k-мерной плоскостью в Rn, где k = n - r  (k - число свободных, а r - базисных переменных.)

 

Отметим два случая:

         1. r = n, k = 0. Система имеет единственное решение, которое представляет собой точку в Rn, то есть точку можно считать нуль-мерной плоскостью.

         2. r = 0, k = n. Все уравнения являются тождествами (0 = 0), все переменные свободные, область решений системы совпадает со всем пространством Rn, то есть само пространство можно считать n-мерной плоскостью.

Если этих два крайних случая исключить из рассмотрения, то очевидно, что k может меняться в пределах 1 £  k  £ n - 1.

 

Определение 2. Плоскость наибольшей возможной в Rn размерности, но не совпадающей со всем пространством, то есть (n-1)-мерную плоскость, называют гиперплоскостью, а плоскость наименьшей возможной размерности, но не являющуюся точкой, то есть одномерную плоскость, называют прямой.

 

Примеры.

         R - само одномерно и в нем не может быть плоскостей меньшей размерности.

         R2 - (числовая плоскость) - в нем гиперплоскость совпадает с прямой - это одномерная плоскость.

         R3 - (числовое пространство) - здесь гиперплоскостью является двухмерная плоскость,  а прямой - одномерная плоскость; других плоскостей нет.

 

З а м е ч а н и е. При n > 3 кроме гиперплоскостей и прямой существуют плоскости промежуточных размерностей (n-2)-мерные, ..., трехмерные, двухмерные.

 

         Гиперплоскость обычно задают одним линейным уравнением

a1×x1 + a2×x2 + ... + an×xn = b,                        (1.1)

 

в котором не все коэффициенты равны нулю, то есть

 

                                      .                                                           (1.2)

Условие (1.2) равносильно тому, что ранг системы, состоящей из одного уравнения (1.1), равен 1.

         Пусть теперь система состоит из двух уравнений

                                      .                                    (1.3)

Если ее матрица А имеет ранг 1, то

В этом случае гиперплоскости, определенные уравнениями системы (1.3), называются параллельными и, если

,

(то есть ранг расширенной матрицы равен 2), то система несовместна:

гиперплоскости, определенные уравнениями системы (1.3), не имеют общих точек (не пересекаются); если же

,

(то есть ранг расширенной матрицы равен 1), то система сводится к одному уравнению, две гиперплоскости совпадают.

         И наконец, если ранг матрицы А равен 2, то система определяет (n-2)-мерную плоскость.

         Прямую можно задать совместной системой линейных уравнений с n переменными ранга r = n-1. Если известны две точки А(а1,а2,..,аn), B(b1,b2,..,bn) прямой, то эту систему можно записать в виде

                                      ,                                         (1.4)

где X(x1, x2, .., xn) - текущая переменная точка прямой.

Систему уравнений (1.4) называют уравнениями прямой, проходящей через две точки А и В.

 

1.1. Расстояние от точки до прямой

 

         Рассмотрим прямую l  в R2, заданную уравнением

А×х + В×у + С = 0

и точку М(х1,у1) вне данной прямой.

 

         Обозначим через d расстояние MN (MN перпендикуляр к l). Уравнение перпендикуляра можно записать в виде           В×(х - х1) - А×(у - у1) = 0.

                             или

                   В×(х2 - х1) - А×(у2 - у1) = 0

Таким образом

                    = t,           (1.5)

то есть t - коэффициент пропорциональности. Поэтому из (1.5) следует, что

.×

         C другой стороны, точка N(x2,y2) принадлежит l, следовательно, из (1.5) получаем

                            х2 = х1 + А×t

                            y2 = y1 + В×t

Подставим эти значения в уравнение прямой А×х + В×у + С = 0.  Получим

А×х2 + В×у2 + С = А×(х1 + А×t) + В×( y1 + В×t) + С = (А×х1 + В×у1 + C) + t×(А2 + В2) = 0

Тогда

.

Откуда

.

З а м е ч а н и е. (следствие).

 

         1. Пусть  x1 = 0,   y1 = 0,   (О(0,0)).

Тогда

                                                                                                    (1.6)

является расстоянием от прямой до начала координат.

 

         2. Разделив обе части общего уравнения прямой на , получим уравнение

                                               ,                                                (1.7)

свободный член которого  численно равен расстоянию прямой от начала координат. Такое уравнение прямой будем называть нормированным.

 

1.2. Нормированное уравнение прямой

 

         Пусть дана прямая l. Проведем через начало координат прямую n, перпендикулярную l. Пусть Р - точка пересечения прямых. Возьмем единичный вектор .

 

         Выразим уравнение l через два параметра:

  и  угол  q

         Пусть М(х,у) принадлежит l. Тогда проекция  на ось, определяемую вектором , равна р, то есть при условии прn, так как  единичный вектор, то согласно определению скалярного произведения прn,=. Так как ,  а вектор , то скалярное произведение имеет вид

.

         Следовательно, точка М принадлежит прямой l означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению

                                               .                                         (1.8)

Это и есть нормированное уравнение прямой l.

         Пусть теперь имеем общее уравнение прямой l:

                            l: А×х + В×у + С = 0

                            l:

         Отсюда

t×A = Cosq,   t×B = Sinq,   t×C = -p.

Учитывая, что

t2×A2 + t2×В2 = Cos2q + Sin2q = 1

получаем

                                               t2×(A2 + В2) = 1                                                    (1.9)

или

                            -нормирующий множитель.

Следовательно, чтобы получить из общего уравнения прямой

А×х + В×у + С = 0

нормированное уравнение (1.8) следует умножить его на нормирующий множитель (1.9), знак которого противоположен С.

Сравните с (1.7).

 

2. Общее уравнение плоскости в R3

 

         Зафиксируем произвольную декартову прямоугольную систему координат Oxyz и рассмотрим произвольное уравнение первой степени

А×х + В×у + С×z + D = 0,             (2.1)

где  A, B, C, D - произвольные константы, хотя бы одна из которых не равна 0.

Уравнение (2.1) заведомо имеет хотя бы одно решение (x0, y0, z0).

         Действительно, пусть С ¹ 0, следовательно, взяв произвольные (x0, y0), мы получим ,

 то есть существует точка М0(x0, y0, z0) такая, что

А×х0 + В×у0 + С×z0 + D = 0,                 (2.2)

которое эквивалентно (2.1).

Рассмотрим разность  между (2.1) и (2.2).

Мы получим

А×(х - х0) + В×(y - у0) + С×(z - z0) + D = 0,         (2.3)

которое эквивалентно (2.1).

         Докажем, что уравнение (2.2) и, стало быть, уравнение (2.1), определяет плоскость (П) в Oxyz.

         Пусть вектор      

,

то есть хотя бы одна координата его не равна 0.

         Возьмем произвольную точку М0(x, y, z), принадлежащую плоскости П, то есть ее координаты удовлетворяют уравнению (2.3), ибо в этом случае вектор  перпендикулярен вектору  () и их скалярное произведение

А×(х - х0) + В×(y - у0) + С×(z - z0)             (2.4)

равно нулю.

         Если точка М(x,y,z) не  принадлежит плоскости П, то ее координаты не удовлетворяют (2.3), ибо в этом случае вектор  не перпендикулярен вектору  и (2.3) не равно нулю.

         Таким образом, мы доказали следующее утверждение.

 

Теорема 2.1. Если в R3 фиксирована произвольная декартова система координат Oxyz (прямоугольная), то всякое уравнение первой степени с тремя переменными  x,y,z  определяет относительно этой системы плоскость.

 

 

З а м е ч а н и я.

         1. Уравнение (2.1) с произвольными коэффициентами А, В, С (хотя бы один из которых не должен быть равен нулю) называется общим уравнением плоскости в R3.

         2. Если два общих уравнения

А×х + В×у + С×z + D = 0

         и

А1×х + В1×у + С1×z + D1 = 0

определяют одну и ту же плоскость, следовательно, существует число t, такое, что справедливы равенства

A1 = t×A,  B1 = t×B,  C1 = t×C,  D1 = t×D.

 

         Рассмотреть(самостоятельно) неполные уравнения плоскости, когда

                   1) А = 0;                        2) В = 0;               3) C = 0;               4) D = 0;

                   5) A = В = 0;                 6) A = C = 0;        7) B = C = 0;

                   8) A = В = C = 0;           9) A = C = D = 0;                    10) В = C = D = 0;

 

2.1. Угол между двумя плоскостями

 

         Пусть даны две плоскости П1 и П2, которые заданы уравнениями

А1×х + В1×у + С1×z + D1 = 0

         и

А2×х + В2×у + С2×z + D2 = 0

соответственно.

         Чтобы определить угол между плоскостями, достаточно определить угол j между их нормальными векторами  и .

По определению скалярного произведения

                            .                                       (2.5)

         Условие параллельности двух плоскостей заключается в пропорциональности координат векторов  и :

                                               .                                                      (2.6)

Условие “плоскость П1 перпендикулярна к плоскости П2” определяет, что Cosj = 0

и тогда

                                               A1×A2 + B1×B2 + C1×C2 = 0                                        (2.7)

 

 

2.2. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой

 

         Пусть даны три точки М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2) и М3(x3,y3,z3). Необходимо вывести уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Так как эти три точки не лежат на одной прямой, то векторы  и  неколлинеарны, и поэтому точка М(x,y,z) лежит в одной плоскости с точками М1, М2  и М3 в том случае, если векторы ,  и  компланарны.

 

Теорема 2.2. Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие

                                                                                     (2.8)

(без доказательства).

 

         Из условия (2.8) получим уравнение первой степени относительно x,y,z. Оно и является уравнением искомой плоскости.

 

2.3. Нормированное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости

 

         Пусть дана плоскость П. Проведем через начало координат прямую n перпендикуляр к плоскости П, и пусть Р - точка пересечения прямой n и плоскости П.

Рассмотрим вектор  и  - единичный вектор. . Пусть углы a, b, g образованы с положительными направлениями осей и вектором . Тогда . Очевидно, что точка М(x,y,z) принадлежит плоскости П тогда, когда проекция вектора  на ось, определяемую вектором  , равна р.

прn = р =  .

         Так как , то скалярное произведение равно р

         или

                                                                           (2.9)

 

Определение 2.1. Назовем отклонением d точки М от плоскости П число +d в случае, когда точка М и начало координат  точка О лежат по разные стороны от плоскости П, и число -d -  в случае, когда точка М и начало координат  точка О лежат по одну сторону от плоскости П, (куда направлен вектор  - “+d” и “-d” - в противоположном расположении точки М, если точка О лежит на плоскости).

         Для нахождения отклонения d точки М0(x0,y0,z0) от плоскости П следует в левую часть нормированного уравнения плоскости П поставить на место х,у,z координаты x0,y0,z0 точки М.

         Так как

А×х + В×у + С×z + D = 0

         и

 

определяют одну ту же плоскость, то существует t такое, что

 

t×A = Cosa, t×B = Sinb, t×C = Sing, t×D = -p.

 

Так как сумма квадратов направляющих косинусов равна 1, то

t2×(A2+ B2+ C2)=1,

следовательно,

                                               ,                                            (2.10)

где знак t противоположен знаку коэффициента D.

Для приведения общего уравнения плоскости

А×х + В×у + С×z + D = 0

к нормированному виду (2.9) следует умножить его на нормирующий множитель (2.10), знак которого противоположен знаку  коэффициента D.

 

3. Прямая линия R3

 

         Прямую в пространстве R3 можно задать как пересечение двух плоскостей, определяемых уравнениями

 

                                                                                (3.1)

 

Приведем (3.1) к каноническому виду.

Для этого достаточно найти:

         1) хотя бы одну точку М1(x1,y1,z1), через которую проходит прямая

Так как плоскости, определяемые (3.1), не параллельны и не сливаются, то нарушается (2.6), то есть хотя бы одна из пропорций

,

а это значит, что хотя бы один из определителей второго порядка

,      ,    

отличен от нуля.

         Пусть, например,

.

Тогда, взяв вместо z произвольное число z1 и подставив его в уравнение (3.1), можно определить соответственно x1 и y1

                                                             (3.2)

         Можно взять z1=0. Тогда, воспользовавшись (3.2), получим, что прямая проходит через точку .

        

Пусть текущая точка М(x,y,z). Тогда уравнение линии можно записать в виде

                   .                 (3.3)

        

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки М1(x1,y1,z1) и М2(x2,y2,z2)  , имеет вид

                                      .                                              (3.4)

        

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М1(x1,y1,z1) и перпендикулярной плоскости А×х + В×у + С×z + D = 0,  имеет вид

                                      .                                                   (3.5)

        

Уравнение прямой, параллельной данной плоскости и проходящей через данную точку М0(x0,y0,z0).

 

         Пусть плоскость П задана уравнением

 А1×х + В1×у + С1×z + D1 = 0.

Тогда уравнение прямой имеет вид

                                      А1×(х - x0) + В1×(y - y0) + С1×(z - z0) + D1 = 0.                           (3.6)

 

4. Выпуклые множества точек на плоскости. Неравенства

4.1. Неравенства

 

         Пусть задана линия

                                                        F(x, y) = 0,                                                (4.1)

то есть это множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Аналогично можно рассмотреть множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству

                                                        F(x, y) < 0                                                  (4.2)

или неравенству

                                                        F(x, y) > 0.                                                 (4.3)

 

 

Пример.

 

 

 (х - a)2  + (у - b)2  - r2  = 0

 

         Это уравнение определяет окружность с центром в точке С(a,b) радиуса r, (Рис. 8.4);

 

 

 

 

 

Неравенство

 

(х - a)2  + (х - b)2  - r2 < 0

 

определяет множество точек, лежащих внутри круга с центром в точке С(a,b) радиуса r, (Рис. 8.5);

 

 

 

         Неравенство

 

(х - a)2  + (х - b)2 - r2 > 0

 

определяет множество точек, лежащих вне этого круга с центром в точке С(a,b) радиуса r (Рис. 8.6);

 

Множество точек, удовлетворяющих (4.1), называют областью решений этого уравнения.

Аналогично будем говорить об области решений неравенств (4.2) и (4.3).

        

Пусть теперь F(x, y) - линейное уравнение, то есть имеет вид

                                               F(x, y) = A×x + B×y + C,                                     (4.4)

где A, B, C - константы.

         Любое невырожденное уравнение A×x + B×y + C = 0 определяет линию L в R2, рассмотрим

                                               A×x + B×y + C < 0                                              (4.5)

         и

                                               A×x +  B×y + C > 0,                                            (4.6)

         где  А2+В2¹0.

 

По отношению к прямой линии все точки разбились на два множества Ф1 и Ф2, лежащие по разные стороны от прямой L (Рис 8.7).

         Покажем, что эти множества определяются неравенствами (4.5)  и (4.6).

 

         Пусть М1(х1,у1) принадлежит Ф1, а М2(х2,у2) принадлежит Ф2.

Так как эти точки не лежат на прямой, то имеем

А×х1 + В×у1 + С = d1,

А×х2 + В×у2 + С = d2,

         где d1 ¹ 0,  d2 ¹ 0.

Действительно, так как точки М1(х1,у1), М2(х2,у2) лежат по разные стороны от прямой (4.4), то существует точка М0(х0,у0) такая, что она делит отрезок М1М2 в отношении , а сама точка М0(х0,у0) принадлежит прямой L, то есть

                                      ,  .                                      (4.7)

Так как точка М0(х0,у0) принадлежит прямой L, то имеем

А×х1 + В×у1 + С = 0.

Подставим (4.7) в (4.4):

.

(А×х1+В×у1+С) + l×(А×х2+В×у2+С) =0,

то есть d1+ l×d2 = 0, откуда d1 = -l×d2 , но l > 0, следовательно, d1 и d2 имеют разные знаки.

         Пусть, например, d1 < 0, d2 > 0, тогда точка М1(х1,у1) удовлетворяет неравенству (4.5),  а точка М2(х2,у2) - неравенству (4.6).

Множество точек, лежащих на некоторой прямой и по одну сторону от нее, называют полуплоскостью.

Очевидно, что каждая прямая L разбивает плоскость П на две полуплоскости, для которых она является общей границей. Считается, что граница принадлежит сразу двум полуплоскостям.

 

Если (4.4) - это граница, то нестрогие неравенства

A×x + B×y + C £ 0

и

A×x + B×y + C ³ 0

определяют полуплоскости.

         Пусть задана система неравенств

                                                                                                      (4.8)

         Геометрически  система (4.8) может быть истолкована как область решений этой системы, то есть это множество точек , которые одновременно удовлетворяют всем неравенствам этой системы, то есть . Очевидно, что область решений системы неравенств является пересечением областей решений каждого из неравенств системы.

 

Пример.

 

 

 

 

З а м е ч а н и е. В частности может иметь место .

Областью решений системы линейных неравенств

                            (4.9)

 

является очевидно пересечение полуплоскостей, определяемых каждым из неравенств.

Эту область будем называть многоугольником.

         Не исключены также случаи вырождения многоугольной области в прямую или  луч, а многоугольника - в отрезок или точку.

 

4.2. Выпуклые множества точек на плоскости

 

Определение 4.1. Множество точек называется выпуклым, если вместе с двумя его точками  М1 и М2 ему принадлежат и все внутренние точки отрезка М1М2.

 

Примеры.

         Выпуклые множества:  полуплоскость, круг, отрезок и так далее.

 

         Многоугольники могут быть как выпуклые, так и невыпуклые. Геометрически это можно всегда увидеть, но этот факт также может быть

установлен и аналитически.

 

 

Теорема 4.1. Пусть дана полуплоскость

Ф1:  A×x + B×y + C < 0

и точки М1(х1,у1) и М2(х2,у2), принадлежащие Ф1, то есть

А×х1 + В×у1 + С < 0   и   А×х2 + В×у2 + С < 0.

Пусть точка М0(х0,у0) принадлежит отрезку L = М1М2.

Если  А×х0 + В×у0 + С < 0, то тогда полуплоскость будет выпуклой.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о :

 

         Координаты точки М1 можно выразить через координаты точек М1 и М2:

, ,

         где   l > 0.

Подставим эти выражения в неравенство полуплоскости

.

Так как

                   l > 0,    и по условию

А×х1 + В×у1 + С < 0   и   А×х2 + В×у2 + С < 0.

следовательно,

А×х0 + В×у0 + С < 0,

а по определению 8.4 такое множество называется выпуклым.

 

З а м е ч а н и е. Определение выпуклого множества сформулировано в предположении, что в этом множестве имеются по крайней мере две точки. Если множество пустое (в этом случае его обозначают как Æ) или состоит из одной точки, то его тоже считают выпуклым.

Для выпуклых множеств имеет место следующая теорема:

 

Теорема 4.2. Пересечение любого числа выпуклых множеств - выпуклое множество.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о :

         Пусть j1, j2, ..., jn - выпуклые множества и их пересечение , тогда оно выпукло. Из того, что точка М0(х0,у0) принадлежит множеству ji (i = 1,...,n) следует, что М0(х0,у0) принадлежит .

         Пусть имеем две произвольные точки М1(х1,у1) и М2(х2,у2), принадлежащие пересечению множеств ji, тогда, так как все множества ji выпуклы, то им принадлежит и отрезок М1М2, а следовательно, , но тогда и пересечение  есть множество выпуклое.

Следствие. Область решений системы линейных неравенств (), если она не представляет собой Æ, является выпуклой многоугольной областью или выпуклым многоугольником.

 

5. Выпуклые множества в пространстве. Неравенства

 

         По аналогии с пространством R2 можно рассмотреть геометрию и неравенства в пространстве R3.

                                                        F(x, y, z) < 0                                              (5.1)

         и

                                                        F(x, y, z) > 0                                              (5.2)

определяют множество точек пространства, координаты которых удовлетворяют этим неравенствам.

 

Пример.

(х - a)2  + (х - b)2  + (z - c)2  < r2

 

определяет внутреннюю область шара, ограниченную сферой

 

(х - a)2  + (х - b)2  + (z - c)2  = r2

 

с центром в точке С(а,b,c) и радиусом r, а неравенство

 

(х - a)2 + (х - b)2  + (z - c)2  > r2

 

определяет множество точек, находящихся вне этого шара.

 

         Множество точек, лежащих в некоторой плоскости и по одну сторону от нее, называют полупространством.

 

5.1. Нестрогие линейные неравенства

 

D + A×x + B×y + C×z < 0

         и

D + A×x + B×y + C×z > 0

определяют два полупространства, общей границей которых будет плоскость

 

D + A×x + B×y + C×z = 0.

 

Доказательство этого факта проводится так же, как и в случае двух переменных.

         Пусть дана система линейных неравенств с тремя неизвестными

                                               .                            (5.3)

Областью решений системы (5.3) является пересечение полупространств, то есть такое множество точек, если оно не пусто, которое является решением каждого из неравенств системы. Это пересечение полупространств называют многогранной областью или (в случае ограниченности) многогранником.

 

З а м е ч а н и е.

         1. Понятие выпуклого множества точек и теорема о выпуклости пересечения выпуклых множеств точек сохраняет силу и для пространства.

(Провести доказательство самостоятельно).

 

         2. Так как полупространство выпукло, то область решений системы линейных неравенств (5.3), если она не пуста, является выпуклой многогранной областью (или выпуклым многогранником), если она ограничена.

Не исключены случаи вырождения.

 

Назад  Далее