Глава VII

Элементы векторной алгебры

1. Арифметическое пространство Rⁿ

Величина, которая полностью характеризуется своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром (масса, объем, температура). Скаляр определяется числом, положительным, отрицательным или равным нулю. Если величина характеризуется еще и направлением, то она называется векторной или вектором (сила, скорость и так далее). Таким образом, вектор определяется числом и направлением.

Многие вопросы как теоретического, так и прикладного характера приводят к рассмотрению упорядоченных совокупностей чисел (величин). Например, план работы предприятия, выраженный в определенных числовых показателях, рост цен за ряд лет и так далее. Если отвлечься от конкретного смысла объектов, мы приходим к следующему понятию.

Определение 1.1. Множество всех упорядоченных совокупностей по n чисел (х₁,х₂,...,х_n) называется арифметическим n-мерным пространством (Rⁿ)

(n - размерность пространства).

Будем теперь предполагать, что на плоскости или в пространстве всегда фиксирована некоторая прямоугольная система декартовых координат. Тогда каждая точка будет определена своими координатами А(х₁,х₂,...,х_n), В(у₁,у₂,...,у_n).

Арифметическое пространство R¹ (или R) образует множество действительных чисел. R² представляет собой плоскость, при этом имеем

.

R³ - это трехмерное пространство; при этом имеем

.

В случае Rⁿ мы имеем дело с n-мерным пространством и тогда

. (1.1)

Определение 1.2. Совокупность точек n-мерного пространства, для которых определено расстояние по формуле (1.1), называется n-мерным Евклидовым пространством.

Свойства расстояния между двумя точками:

1. r(А,В) ³ 0, причем если r(А,В) = 0, следовательно, А = В.

2. r(А,В) = r(В,А) для всех точек А, В Î Rⁿ,

3. r(А,C) £ r(A,В) + r(B,C) для всех точек А, В, C Î Rⁿ,

Рассмотрим более подробно понятие вектора.

Для определения положения точки на прямой построим систему координат:

1) возьмем на прямой произвольную точку О и назовем ее началом координат;

2) примем какой-нибудь отрезок (ОЕ = е) за единицу масштаба;

3) выберем положительное направление.

Теперь положение любой точки М будет определяться числом , которое показывает расстояние от точки М до точки О со знаком ‘+’ или ‘-’ в зависимости от направления.

Примем следующее обозначение: х- координата точки М, что будем записывать как М(х). Тогда

,

то есть точка считается заданной, если известна ее координата. В дальнейшем если будем говорить о точке, то будем иметь ввиду число (координату точки) и наоборот, таким образом, установлено взаимно-однозначное соответствие.

Определение 1.3. Отрезок, у которого указаны начало и конец, называется направленным отрезком или вектором.

Для этого понятия вводятся следующие обозначения: модуль вектора -

, .

2. Линейные операции

1. Введем понятие о векторе О, модуль которого равен 0 (направление произвольно).

2. , если они расположены на параллельных прямых или совпадают, и , и одинаково направлены - в этом случае мы не будем их различать, то есть имеем так называемый свободный вектор, который допускает перенос его в любую точку пространства.

3. , .

а) переместительное свойство

;

б) сочетательное свойство

;

в) для всякого существует такой, что - нулевой вектор.

4. .

5. ( k > 0, k < 0 )

6. (так называемый орт), при этом .

Определение 2.1. Два вектора и называются коллинеарными, если они параллельны в широком смысле.

Теорема 2.1. Для того чтобы два вектора и были бы коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы

(k - скаляр).

Определение 2.2. Три вектора , , называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости в широком смысле.

Теорема 2.2. Чтобы три ненулевых вектора , , были бы компланарны, необходимо и достаточно , чтобы один из них является линейной комбинацией двух других.

(k, l - скаляры).

Определение 2.3. Под декартовыми прямоугольными координатами x, y, z точки М будем понимать проекцию ее радиус-вектора на соответствующие оси координат.

То есть в пространстве для каждой точки М существует ее радиус-вектор (начало которого О, а конец М).

x = r×Cosa

y = r×Cosb

z = r×Cosg

(2.1)

Пусть задан вектор , обозначим

а_x = Пр_xа, а_y = Пр_yа, а_z = Пр_zа ,

то есть .

l = r₁ - r₂

M₁(x₁, y₁, z₁);

M₂(x₂, y₂, z₂);

l_x= x₂ - x₁.

l_y= y₂ - y₁.

l_z= z₂ - z₁.

(2.2)

3. Действия над векторами, заданными в координатной форме

Пусть .

Введем в рассмотрение единичные векторы (орты) , ,

, ,

Таким образом

. (3.1)

Теперь введем линейные операции над векторами в следующем виде:

1.

или

, где l - скаляр.

2. .

4. Скалярное произведение векторов

Определение 4.1. Под скалярным произведением двух векторов и понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

. (4.1)

=пр_ab

=пр_ab

. (4.2)

Или в координатной форме

.

Но тогда, используя определение (7.7), можно вывести формулу для нахождения угла между векторами

(4.3)

5. Системы векторов

Определение 5.1. Множество L с определенными для его элементов операциями сложения и умножения на число, удовлетворяющими следующим аксиомам

1. х + у = у + х

2. (х + у) + z = x + (y + z)

3. существует элемент 0 такой, что х + 0 = х

4. для любого элемента х существует такой элемент -х,

что х + (-х) = 0

5. 1×х = х

6. b×(a×х) = (b×a)×х

7. (a + b)×х = a×х + b×х

8. a×(х + у) = a×х + b×у

называется линейным (векторным) пространством, а его элементы - векторами.

Примеры.

1. Множество всех векторов пространства.

2. Множество всех векторов, принадлежащих плоскости или параллельных ей.

3. Множество многочленов (любых степеней).

Выражение

х₁×а₁ + х₂×а₂ + ... + х_n×а_n (5.1)

называется линейной комбинацией векторов а₁, а₂,..., а_n с коэффициентами х₁, х₂, ..., х_n.

Очевидно, что любая комбинация векторов некоторого линейного пространства

представляет собой вектор этого же пространства. Если некоторый вектор можно представить в виде

b = х₁×а₁ + х₂×а₂ + ... + х_n×а_n,

то говорят, что вектор b разложен по векторам а₁, а₂,..., а_n.

Пример.

По двум неколлинеарным векторам можно разложить любой вектор, лежащий с ними в одной плоскости.

Важную роль в теории линейных пространств играет понятие линейной зависимости и независимости векторов.

Система векторов а₁, а₂,..., а_n пространства L называется линейно независимой, если

х₁×а₁ + х₂×а₂ + ... + х_n×а_n = 0 (5.2)

имеет место, когда х_i = 0 (i = 1÷n), а если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то система векторов называется линейно зависимой.

Система n линейно независимых векторов в n- мерном пространстве называется базисом этого пространства.

Пусть а₁, а₂, ..., а_n образуют базис, а b - произвольный вектор этого же пространства, тогда система

l₁×а₁ + l₂×а₂ + ... + l_n×а_n + l_n+1×b = 0

будет зависима, так как из того, что

l₁×а₁ + l₂×а₂ + ... + l_n×а_n = 0,

следует, что l_n+1 ¹ 0, следовательно,

или

b = х₁×а₁ + х₂×а₂ + . . . + х_n×а_n.

Это разложение будет единственным.

Пусть это не так, то есть

b = y₁×а₁ + y₂×а₂ + ... + y_n×а_n.

Но тогда

b – b = 0 = (x₁ - y₁)×a₁ + ... + (x_n - y_n)×a_n,

следовательно,

(x₁ - y₁) = 0, ..., x_n - y_n) = 0, то есть x₁ = y₁, ..., x_n = y_n.

то есть разложения совпадают.

Коэффициенты разложения вектора называются координатами вектора в данном базисе.

6. Разложение вектора по системе векторов

Легко можно показать, что Rⁿ можно рассматривать как линейное пространство, а его элементы считать векторами.

Будем обозначать элементы пространства через Х(х₁, х₂, ..., х_n), а числа х₁, х₂, ..., х_n назовем компонентами вектора Х.

Нуль-вектором считаем вектор, все компоненты которого равны нулю 0(0,0,...,0). Но элементы Rⁿ можно интерпретировать как однострочные (или одностолбцовые) матрицы. И тогда Rⁿ будет линейным пространством таких матриц. (Смотри операции над матрицами, равенство, сложение, умножение).

Пусть теперь мы имеем k векторов (систему векторов) а_j(а_1j,а_2j,...,а_kj) (j = 1,2,...,k); их компоненты а_ij имеют два индекса: i - номер компоненты данного вектора, j - номер вектора в системе.

Пусть дан еще вектор b(b₁,b₂,...,b_n). В силу определения равенства векторов и действий между ними мы можем записать

. (6.1)

Это равенство можно записать в виде системы n линейных уравнений с k переменными

. (6.2)

Компоненты вектора а_j образуют столбец коэффициентов при переменной х_j в этой системе, а компоненты вектора b - столбец свободных членов. Верно и обратное: если в произвольно заданной системе линейных уравнений (6.2) совокупности коэффициентов при одной и той же переменной и свободные члены интерпретировать как соответствующие k векторы , то мы придем к векторному уравнению (6.1).

Уравнение (6.1) называется векторной формой записи системы линейных уравнений (6.2).

Если система (6.2) несовместна, то разложение вектора b по векторам а₁,а₂,...,а_k невозможно. Если система (6.2) совместна, то разложение (6.1) возможно, а каждое решение системы (6.2) является совокупностью коэффициентов этого разложения.

Уравнение

(6.3)

есть векторная запись однородной системы линейных уравнений

(6.4)

Система (6.4) всегда совместна, так как имеет нулевое решение; и если это решение единственное, то равенство (6.3) имеет место только при нулевых значениях коэффициентов, то есть система векторов а₁,а₂,...,а_k линейно независима.

С другой стороны, нулевое решение системы (6.4) будет единственным тогда и только тогда, когда ее ранг равен числу переменных (r = k), или иначе говоря, утверждение “система векторов а₁,а₂,...,а_k линейно независима” эквивалентно условию по отношению к рангу матрицы

, (6.5)

столбцы которой образованы компонентами этих векторов: ранг этой матрицы должен быть равен числу ее столбцов.

Но r £ n, следовательно, если система k векторов линейно независима, то

k = r £ n. (Мы доказали теорему).

Теорема 6.1. В пространстве Rⁿ система линейно независимых векторов не может содержать более n векторов.

Теорема 6.2. Любые n векторов, для которых определитель со столбцами, образованными компонентами векторов, не равен 0, будут линейно независимы.

Таким образом если

то векторы будут линейно независимыми (k = n, D ¹ 0, система (6.4) имеет единственное нулевое решение; матрица (6.5) - квадратная, и ранг матрицы r равен n).

Отсюда следует, что размерность линейного пространства равна n.

Векторы, для которых D ¹ 0, образуют базис этого пространства. Решение системы (6.4) является совокупностью координат вектора в этом базисе (в системе (6.4) в этом случае k = n, а системы (6.2) и (6.4) имеют один и тот же D).

Пример.

Даны векторы

а₁ (2, 4, 3, 2)

а₂ (4, 2, 2, 8)

а₃ (4, 5, 8, 7)

а₄ (6, 7, 5, 3)

b (18, 24, 13, 6)

Показать, что векторы а₁, а₂, а₃, а₄ образуют базис в R⁴ (линейное 4-х мерное пространство) и определить координаты вектора b в этом пространстве.

Решение.

.

Так как D ¹ 0,

Так как D¹0, следовательно, векторы а₁, а₂, а₃, а₄ образуют базис в R⁴.

Для вычисления координат вектора b в этом базисе составим систему линейных уравнений

Решение этой системы

х₁ = 2, х₂ = 0, х₃ = -1, х₄ = 3

представляет собой совокупность координат вектора b в базисе а₁, а₂, а₃, а₄, то есть b(2, 0, -1, 3) или

b = 2×a₁-a₃ + 3×a₄.

З а м е ч а н и е.

Базис в R⁴, как и в любом другом пространстве, может быть выбран не единственным образом.

Пример.

Векторы е_j (j = 1,2,...,n) образуют базис, если

е₁ (1,0,...,0)

е₂ (0,1,...,0)

...................

е_n (0,0,...,1)

Проверить самостоятельно, что это базис.

Тогда

b = b₁×e₁ + b₂×e₂ + ... + b_n×e_n.

В данном случае координаты вектора являются и его компонентами.×

7. Линейные преобразования

Пусть дано n-мерное действительное пространство, которое обозначим через L_n. Рассмотрим преобразование этого пространства, переводящее каждый вектор а, принадлежащий L_n, в некоторый вектор а^/ этого же пространства. Вектор а^/ назовем образом вектора а при рассматриваемом преобразовании. Условимся, что вместо принятого а^/ = j(а) будем писать а^/ = аj.

Определение 7.1. Преобразование j линейного пространства L_n называется линейным преобразованием этого пространства, если:

1. (a + b)j = aj + bj

2. (a×a)j = a×(aj)

Из определения (7.9) следует, что линейное преобразование L_n переводит любую линейную комбинацию данных векторов а₁, а₂, ..., а_n в линейную комбинацию с теми же коэффициентами образов этих векторов

(a₁×a₁ + ... + a_n×a_n)j = a₁×(a₁j) + ... + a_n×(a_nj) (7.1)

Если добавить еще одно условие:

3. 0 = 0,

то есть нулевой вектор остается неподвижным,

то можно получить некоторое обозрение всех линейных преобразований линейного пространства L_n.

Пусть е₁, е₂,..., е_n - база этого пространства. Так как всякий вектор а, принадлежащий L_n, однозначно представим в виде линейной комбинации векторов базы, то согласно (), образ вектора ас теми же коэффициентами выражается через образы векторов базы е₁, е₂,..., е_n.

Теперь можно показать, что существует взаимно однозначное соответствие между всеми линейными преобразованиями пространства L_n и всеми квадратными матрицами порядка n, то есть

еj = Ае (7.2)

Пример.

Пусть в базе е₁, е₂, е₃ трехмерного линейного пространства линейное преобразование j задано матрицей

Если а = 5×е₁ + е₂ - 2×е_3, то

и следовательно

аj = -9×е₁ + 16×е₂.

Определение 7.2. Матрицы, задающие одно и то же линейное преобразование в разных базах, подобны между собой. При этом матрица линейного преобразования j в базе е^/ получается трансформированием матрицы этого преобразования в базе е матрицей перехода от базы е^/ к базе е.

Пусть матрица А задает линейное преобразование j в базе е. Тогда любая матрица В, подобная матрице А,

В=Q^-1×A×Q,

также задает преобразование j в некоторой базе, а именно в базе, получающейся при помощи матрицы перехода Q^-1 от базы е к базе е^/.

Другими словами матрица Т называется матрицей перехода от одной базы к другой , если

Таким образом

е^/ = Т×е, где Т - матрица перехода.

8. Характеристические корни и собственные значения

Пусть - квадратная матрица порядка n с действительными элементами, l - некоторое неизвестное.

Тогда матрица

А - l×Е, (8.1)

где Е - единичная матрица порядка n, которая называется характеристической матрицей матрицы А.

Определитель матрицы А-l×Е будет многочленом от l, причем степени n.

Многочлен n-ной степени называется характеристическим многочленом матрицы А, а его корни, которые могут быть как действительными, так и мнимыми, называются, характеристическими корнями этой матрицы.

Теорема 8.1. Подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими многочленами и, следовательно, одинаковыми характеристическими корнями.

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Пусть

B=Q^-1×A×Q.

Тогда, учитывая, что матрица l×Е перестановочна с матрицей Q, а , получаем

.

Определение 8.1. Пусть в действительном линейном пространстве L_n задано линейное преобразование j. Если вектор b, отличный от нуля, переводится преобразованием j в вектор, пропорциональный самому b,

bj = l₀×b, (8.2)

где l₀ - некоторое действительное число, то вектор b называется собственным вектором преобразования j, а число l₀ - собственным значением этого преобразования.

З а м е ч а н и е.

0-вектор не является собственным вектором преобразования j.

Теорема 8.2. Действительные характеристические корни линейного преобразования j, если они существуют, (и только они) служат собственными значениями этого преобразования.

(Без доказательства).

З а м е ч а н и е. Хотя линейное преобразование j в разных базах задается различными матрицами, однако все эти матрицы имеют один и тот же набор характеристических корней. Поэтому мы и называем их характеристическими корнями самого преобразования j.

Полное изложение данной темы смотри Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.  - М.: Наука, 1984.

Назад Далее