Глава II

Дифференциальное исчисление

1. Сходимость в пространстве Rⁿ

1.1. Окрестности и пределы последовательностей точек

Пусть на рассматриваемой нами плоскости или пространстве всегда фиксирована некоторая прямоугольная система декартовых координат. Точки будем обозначать большими латинскими буквами , а их координаты - маленькими греческими, иногда с индексами, т.е. в случае плоскости , а в случае пространства . Расстояние между точками А и В будем обозначать символом .

Как известно, формула для расстояния между точками A,B в случае плоскости имеет вид:

а в случае пространства:

Определение1.1. Точкой Р -мерного пространства называется упорядоченная совокупность вещественных чисел Р = или, короче, Р(x_i). Число называется - той координатой точки .

Расстояние между двумя точками А и В определим по формуле

(1.1)

Определение 1.2. Совокупность точек -мерного пространства, для которых определено расстояние согласно (1.1), называется -мерным евклидовым пространством и обозначается или .

З а м е ч а н и е.

В случае получается прямая, при - плоскость; при - пространство с обычным расстоянием и в случае произвольного не нужно искать в определении какого-то скрытого физического или геометрического смысла. Это есть просто построение математического аппарата, удобного для изучения функции многих переменных.

Расстояние между точками в -мерном евклидовом пространстве обладает следующими свойствами:

1. , причем .

2. .

3. .

Определение 1.3. Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое вещественное число (причем разным натуральным числам могут соответствовать и одинаковые числа). Совокупность элементов называется числовой последовательностью (или просто последовательностью); каждый элемент называется членом последовательности, а число n - его номером.

Числовую последовательность будем обозначать , либо . Согласно определения, последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов.

Определение 1.4. Число А называется пределом данной последовательности , если (1.2)

При этом пишут или .

Отметим, что неравенство (1.2) эквивалентно

(1.2.1)

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся.

Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.

Определение 1.5. Для заданного числа х всякий интервал вида , где , называется - окрестностью (или просто окрестностью) числа (точки) х на числовой прямой и обозначаются О(х,e).

Тогда можно дать другое определение предела.

Определение 1.4.1. Число А называется пределом данной последовательности , если в любой его окрестности содержатся почти все члены последовательности, т.е. все члены последовательности за исключением их конечного числа.

Рис. 1.1.

Следующие утверждения о числовых последовательностях нужно знать и уметь доказывать ( самостоятельно):

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2. ;

3. ;

4. ;

5. Если сходятся и , то

;

1.2. Основные теоремы для последовательностей

Определение 2.1. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существуеттакое число b, что для любого n a_n£ b( a_n ³ b).

Определение 2.2. Последовательность называется монотонно возрастающей (монотонно убывающей), если a_n£ a_n+1 ( a_n ³ a _n+1).

Теорема 2.1. (Вейерштрасса). Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть для определенности - возрастающая и ограничена сверху. Зафиксируем , а так как ограничена, то и

. Тогда в силу монотонности заданной последовательности

в силу (1.2.1) .

Поэтому , что по определению 2.4. означает .

Аналогично теорема доказывается для случая, когда - убывающая и ограничена снизу.

З а м е ч а н и е.

Теорема Вейерштрасса не имеет места в множестве Q - рациональные числа.

С л е д с т в и е.

Для того, чтобы монотонно возрастающая (убывающая) последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху (снизу).

Это следует из утверждения, что если последовательность имеет предел, то она ограничена , и из теоремы Вейерштрасса.

Теорема 2.2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть , а Пусть - наибольшее из чисел , т.е. . По определению 2.6, - ограничена.

Пример 2.1. (Число e.) Пусть

Покажем, что последовательность сходится.

Раскрывая скобки согласно правилу бинома Ньютона, получим

=...+

При переходе от к число слагаемых, которые все положительны,

возрастает, и кроме того, каждое слагаемое увеличивается:

, то .

Далее, замечая, что каждая из скобок вида и , получим

В левой части неравенства - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия .

Следовательно,

Но последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, а значит, имеет предел, который обозначим буквой е.

З а м е ч а н и е.

Число e=2,718281828 ... иррационально и трансцендентно, т.е. не является корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.

Определение 2.3. Последовательность удовлетворяет условию Коши, если .

Теорема 2.3. (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

1.3. Сходимость последовательностей в пространстве

Определение 3.1 Пусть Х Rⁿ и Е> 0. Множество всех точек Y Rⁿ:r (x,y) < E называется n-мерным шаром с центром в точке Х радиуса Е или Е-окрестностью.

Будем обозначать это множество

0 (x, Е) = {Y: Y Rⁿ , r (x,y) < E };

Для n = 1 0 (х, E) = { Y: ½X - Y½ < E};

n = 2 X(x₁, x₂); Y(y₁, y₂);

0 (x, E) = {Y: (y₁-x_{1) -}(y₂-x₂)< E}.

Определение 3.2. Пусть каждому натуральному числу m поставлена в соответствие некоторая точка X^(m) Rⁿ (необязательно разные точки для разных m ). Тогда множество{X^(m), m = 1,2,3,...}, состоящее из точек пространства Rⁿ с различными номерами, называется последовательностью точек в Rⁿ и обозначается

Х^(m), m = 1,2,3,..., или {x^(m)}.

Определение 3.3 Точка Х Î Rⁿ называется пределом последовательности {x^(m)} и пишется

, (3.1)

если (3.2)

И, если Х = то будем говорить, что последовательность {x^(m)} cходится к точке Х .

Используя понятие окрестности, легко получаем, что

Х = E > 0 m: m m x 0(x,E).

При n = 1 определение 3.3 превращается в обычное определение предела числовой последовательности.

При n = 2 сходимость последовательности {x^(m)} точек плоскости R² к точке Х R² означает, что каков бы ни был круг с центром в точке Х, начиная с некоторого номера, зависящего от радиуса этого круга, все члены данной последовательности лежат в этом круге.

В случае n = 3 получаем сходимость в R³. Здесь в роли Е-окрестности выступает шар. А это означает, что каков бы ни был шар с центром в точке Х, начиная с некоторого номера, зависящего от радиуса этого круга, все члены данной последовательности лежат в этом шаре, за исключением их конечного числа.

Понятие предела последовательности {х^(m)} точек пространства Rⁿ может быть сведено к понятию предела числовых последовательностей, а именно, последовательностей координат точек х^(m), m = 1,2, . . . .

Теорема 3.1 Для того чтобы последовательность {x}

x = (x, x, x, . . . , x ) Rⁿ, n = 1,2,3, . . . .

сходилась к точке Х = (х , х , х , . . . , х ) Rⁿ

чтобы , i = 1¸ n. (3.3)

Доказательство этой теоремы будет позже.

1.3.1. Различные типы множеств

Пусть точка МG, где G - множество, принадлежащее Rⁿ

(G Rⁿ) .

Определение 3.4 Точка M G называется внутренней точкой этого множества, если существует Е - окрестность этой точки такой, что O(M; Е) G.

Рис. 3.4

Определение 3.5. Точка N называется граничной для множества G , если в любой ее полной окрестности имеются точки, как принадлежащие G, так и не принадлежащие ему. Сама точка N не обязательно принадлежит G.

Совокупность всех граничных точек множества G называется его границей ( Г ).

Определение 3.6. Множество G будем называть областью (или открытым множеством), если все его точки внутренние.

Пример 3.1

К = {x, y: х + y < 1}

Рис. 3.5.

Всякое открытое множество, содержащее точку Х, называется ее окрестностью и обозначается О(х).

Обозначим = G Г, тогда множество будем называть замкнутой областью (замкнутое множество).

Множество S называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной линией, состоящей из точек данного множества.

Пример 3.2. Пусть Г = {x, y: x + y = 1} - граница множества К.

= K Г = {x, y: x + y 1}.

Определение 3.7. Если у точки х А существует окрестность, не содержащая никаких других точек множества А, кроме самой точки х, то эта точка называется изолированной точкой множества.

Определение 3.8. Точка х Î Rⁿ называется предельной точкой некоторого множества А Ì Rⁿ, если " 0(х) содержит по крайней мере одну точку множества А, отличную от х.

З а м е ч а н и е. Очевидно, что предельная точка является граничной точкой. С другой стороны, всякая граничная точка множества А является либо ее изолированной точкой, либо предельной.

Пример 3.3. Пусть n=1 E = (0, 1). Тогда каждая точка отрезка [0, 1] является граничной и предельной точкой множества Е, при этом точки {0}, {1} Ï Е.

Пример 3.4. Пусть А = (0,1) È {2}, то точка {2} является изолированной, а Г = [0,1] È {2}.

Рис. 3.6.

Определение 3.9. Множество Е Ì Rⁿ называется ограниченным, если существует n-мерный куб Р(0,а) с центром в начале координат 0, такой что E Ì Р(0,а).

З а м е ч а н и е. Всякий n-мерный параллелепипед Р(х,б₁, б₂ , . . . , б_n ) называется прямоугольной окрестностью точки х, если б₁=б₂=б₃ = . . .= б_n , то получим n-мерный куб с центром в точке х.