2. Функция

 

2.1.  Понятие функции

 

         Пусть заданы два множества Х и Y. Если каждому элементу хХ поставлен в соответствие один и только один элемент у  У , обозначаемый f(х), и если каждый элемент уУ при этом оказывается поставлен в соответствие хотя бы одному элементу  хХ, то говорится, что на множестве Х  задана однозначная функция у = f(х). Множество Х называется областью ее определения, а множество Y  -  множество ее значений. Элемент  хХ  называется аргументом или независимой переменной, а элементы уY - значениями функции, или зависимой переменной..

 

Рис. 2.1.

 

         Элементы х и у рассматриваемых множеств могут иметь совершенно произвольную природу. Если значениями функции являются не числа, а другие элементы, часто вместо слова “функция” употребляют слово “отображение”.

         Для того, чтобы задать функцию f, надо знать:

                   1. Х - область определения (существования);

                   2. Y - область значений;

                   3.  Закон соответствия, по которому определяется элемент уY, соответствующий хХ.

 

Пример 2.1. Вещественные, комплекснозначные и другие функции.

Пусть {xn}- последовательность, тогда хn=f(n).

D(f) = N;  xnRn.

 

         Над функциями, принимающими числовые значения (числовые функции), можно производить арифметические операции.

         Пусть f  и g -  числовые функции, определенные на одном и том же множестве Х, а с - const и у = f(x), то

;

;

;

Если ,         ;

         Выражения в правой части понимаются как функция, принимающая в каждой точке х значения: .

Определение 2.1.  Функция f  ограничена на множестве Х    M > 0 :

.

         Т.е. если   , где

        а)  - ограничена сверху;

        б)  - ограничена снизу. 

 

         Будем говорить, что числовая функция f, определенная на множестве Х, принимает в точке  наибольшее значение (наименьшее), если  и будем писать

      .

         Иногда приходится иметь дело с  , определенными на Х, значениями которых являются некоторые подмножества множества Y, т.е.  каждому элементу   ставится в соответствие некоторое множество  и тем самым множество значений функции является  совокупностью некоторых подмножеств множества Y. B этом случае говорят, что на множестве  Х задана многозначная функция  со значениями во множестве Y.

 

Определение 2.2. Пусть  и Y - множество ее значений. Обозначим  - полный прообраз  элемента , т.е. . Тогда функция, определенная на Y и ставящая в соответствие каждому  множество , называется обратной к   и обозначается .

 

 

Рис. 2.2.

 

2.2.  Способы задания функций.

 

         1.  Если функция задана выражением при помощи формулы, то говорят, что она задана аналитически, Для этого используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций, алгебраические действия и предельный переход.

         Например, .

Здесь  - это совокупность действий, которые нужно выполнить в определенном порядке над значениями аргумента х, чтобы получить соответствующее значение функции y (или, то же самое, ).

        

Примеры:

1.

 

                    2.  Функция Дирихле:

                                         

3.

        

2. Функцию можно задавать таблично, т.е. для некоторых значений х указать соответствующие значения переменной y.

 

X

x1

x2

...

xi

...

xn

Y

y1

y2

...

yi

...

yn

 

Данные такой таблицы могут быть получены как экспериментально, так и с помощью математических расчетов.

Примерами табличного задания функций могут быть: логарифмические таблицы, таблицы тригонометрических функций.

 

3. Аналитический и табличный способы задания функций страдают отсутствием наглядности.                                

                         (*)

Рис. 2.3.

    

Графический способ задания функции - это геометрическое место точек на плоскости с координатами .

Рассмотрим пример (*), тогда ее грфическ  Рис. 2..3.

 

 

 

 

2.3. Понятие функции нескольких переменных.

 

         Рассмотрим вещественные функции, определенные на множестве -мерного евклидового пространства Rn, значениями которого являются вещественные числа.

         Эти функции обозначаются одним символом, например,  или указывая аргумент -  , или  и называются функциями многих переменных. Здесь переменные  называются независимыми переменными или аргументами. Совокупность рассматриваемых их значений  - областью определения (областью существования).

         Областью существования функции двух переменных (х и y), вообще говоря, представляет собой некоторое множество точек плоскости Oxy, т.е.

                                                             .

         Аналогично   для =3.

 

2.4.  Неявные функции

( Один из способов задания функции )

 

Определение 2.3. Функция у от аргумента х называется неявной, если она задана уравнением вида:                   F(x,y) = 0,                           (4.1)

 

т.е.  задана функция  F(x,y) двух вещественных аргументов x и y (если они существуют), для которых выполняется (4.1).

         Чтобы выразить функцию y в явном виде, достаточно разрешить (4.1) относительно y. Так как  для данного значения аргумента х уравнение (4.1) может иметь несколько  (и даже бесконечное множество) корней y, то в общем случае неявная функция является многозначной.

Например, функция у (у>0), определяемая уравнением, является неявной. Явно заданная функция будет иметь вид: .

 

2.5.  Сложные функции

 ( Один из способов задания функции )

 

         Пусть заданы две функции ,  , причем область задания функции F содержит область значений функции , тогда  из этой области определения  ставится в соответствие , где . Эта функция, определенная соответствием , называется сложной функцией, или суперпозицией функций  и F.

 

 

 

Примеры:

                     1. ;

                     2. .

                          - явно задана.

 

2.6. Элементарные функции и их классификация

 

         Функции:

                                                                  - степенная;

                                                     - показательная;

                                       - логарифмическая;

                                                            - тригонометрические;

                                                        - обратные тригонометрические;

                                                   - постоянная.

 

 Называются основными элементарными функциями.

 

З а м е ч а н и е.

         Всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных функций, называется просто элементарной функцией.

         Элементарные функции обычно делят на классы:

         1. Многочлены (полиномы) - это функции вида:

       .

Если , то число  называется степенью данного полинома.

При  многочлен первой степени и называется линейной функцией;

 

         2. Класс рациональных функций:

             , где  - полиномы;

 

         3. Алгебраические функции:

Функции, заданные с помощью суперпозиций рациональных функций, степенных с рациональными показателями и четырех арифметических действий, называются алгебраическими.

Например:

                              .

 

2.7. Трансцендентные функции.

 

         Элементарные функции, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными элементарными функциями.

         Функции вида:

                           - показательная;

                     - логарифмическая;

                                    - тригонометрические;

                             - обратные тригонометрические).

  

     Самостоятельно.

                           1. Графики основных элементарных функций;

                           2. Свойства функций (нечетность, четность, периодичность).

 

3. Предел функции

 

3.1. Определение предела функции

 

Определение 3.1. Пусть функция   f(х)  определена на некотором интервале (а,в),    кроме, быть может, точки  хо Î( а, в ). Число  А  называется пределом функции  f(х) в точке  хо, т.е.

                                      ,

если  " e > 0      $  d  =  d(e) > 0:  "х Î ( а, в),  удовлетворяющих условию

çх - хоç <  d,    х ¹ хо                                             (3.1)

            çf(x) - Aç <  e.                                                (3.2)

 

 

Рис. 3.1.

Таким образом, число  А  называется пределом функции  f(х) в точке хо A = ,  при  х ® хо   тогда и только тогда, когда для любого (") e > 0 существует ( $) такая дельта окрестность d = d (e) > 0 точки хо :

 

     "х Î (а, в) :   х Î O ( хо , d),    х  ¹ хо     Þ   f ( x ) Î O ( A, e ).

 

З а м е ч а н и е.    Понятие предела, естественно, переносится на функции нескольких переменных.

         Пусть f (х, у)  -  функция двух переменных, заданная на множество  Х  плоскости Оху.

         Под окрестностью  Оа,в  точки  Мо  (а, в)  (а  и  в  - конечные)  будем понимать внутренность любого прямоугольника  {a1 <  х <  b1 ,  a2 < у  < b2 }, построенного вокруг  точки  Мо  (т.е.  a1 <  а <  b1 ,   a2 <  в < b2 ),  из которого удалена сама точка  Мо.

         В таком утверждении можно записать                                          

" e >  o   $  Oа,в  :  " M (х ,у ) Î Oа,в   Þ ç f (x, y)  -  A ç < e.

 

         При этом предполагается, что в любой  Оа,в   $ M (х,у ),   в которых  f (х, у) имеет смысл (предельная точка).

 

3.2.   Односторонние пределы функции

 

     Введем понятие левой и правой окрестности точки  хо  - число.

 

Определение 3.2. Любой интервал  = (a, xo) (( = (xо, b )), правым (левым) концом которого является точка  хо, назовем ее левой (правой) окрестностью.

 

         Символически факт, что  х  принимает лишь значения, принадлежащие некоторой левой окрестности точки  хо,  будем обозначать

 х ® хо  -  0,         х < хо.

         Аналогично           х ® хо  +  0    ,    х > хо .

 

Определение 3.3. Число А называется пределом функции слева, если

             " e > 0    $   :  " х Î CÇ  Þ  çf( x) - A ç < e.

И будем писать, где  Х - область определения  f (х).

Аналогично       - предел функции справа.

 

З а м е ч  а н и е.   Можно, конечно,  ограничиться рассмотрением левых   d - окрестностей точки  хо : =  (хо  -  d,   хо ) ,      где   d = d ( e ) > 0.

                        =  (xo ,    xo  +  d),    где   d = d ( e ) > 0.

                        O(xо - 0, d ) =  { х:  хо - d  <  x  £  хо  }, d  >  0

                        O(х  + 0, d ) =  {х :  хо   £  х  <  xo + d }, d > 0.

 

 

Рис.3.2.

 

Пример 3.1.  

 

 

Рис. 3.3.

 

 

Пусть f(х) = sgnх = ,

Опредеена для вех x ¹ 0.

 

Здесь , а    .

 

 

 

 

Теорема  3.1. Для существования предела функции f(х) при х ® хо (хо - число)  

Û             f(хо - о) = f(хо + о).

 

Д о к а з а т е л ь с т в о:     Пусть   ,

тогда  " e > о    $ d = d(e) > о:   çх -хоç< d = >  çf (х) ¹ A ç < e,

и следовательно $    = (хо - d,  хо)   и     = ( xо ,  xо  + d )   :

         А =      и  А =  .

         Обратно, если существуют пределы   А = f(x)  и  А =  ,   то   " e > 0   $ d1  =  d1 (e)    и   d2  = d2 (e)  такие, что, если

              хо - d1  < х < хо    и,  соответственно,   хо <  х  <  xо + d2  Þ

                                                çf(х) - Aç < e

         Возьмем    d  = min {d1, d2} Þ çf( x ) - A ½< e   при  çх -хоç<  d, 

 х ¹ хо.   И тогда, согласно определения  3.1.

 

Лемма  3.1.       Если  f(х)  имеет  предел в точке  хо, то существует окрестность этой точки (быть может,  выброшенной точкой  хо), на которой  функция ограничена.

 

Теорема 3.2.    (Правило замены переменного для пределов функции)

         Пусть существуют  o, f(х) ¹ уо   " х ¹ хо   и                            Þ  при  х ® хо   существует предел сложной функции F[f(x)]  и

                                           

 

3.3. Свойства пределов функции

 

         Пусть все функции,  рассматриваемые  ниже, определены на (а, в), кроме, быть может, фиксированной точки  хо Î (а, в), тогда верны следующие свойства:

1.  Если  j ( х ) £ ¦ ( х) £ y ( х )       и

     А =    =    Þ   = A.

2.  Если   ¦(х) =  С (сonst) Þ  ¦(x) =  C .

3.  Если      cущ.  Þ"с - const

     

4.  Если   существуют конечные пределы     и   , тогда:

     а)  ;

     б)   ;

     в)    =  .

         Все эти свойства доказываются одинаковым методом, основанным на соответствующих свойствах пределов  последовательностей.  Для доказательства этих свойств введем понятие бесконечно малых и бесконечно больших функций.

 

3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

 

Определение 3.4. Функция a = a(х) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) при х ® хo, если  

 

Лемма  3.2. Предел  существует и равен  А Û ¦ (х) = A + a (х),

            где   a (х) -   бесконечно малая.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о:       Пусть  ,  то,  полагая                                     ¦(х) - A = a (х),  получим .

обратно, если  ¦(х) = A + a(х)   и .

 

         Из леммы 3.2.  следует, что если  ,   то в некоторой окрестности  Охо  знак  f(х)  (х Î C)  совпадает со знаком числа  А.

 

Определение 3.5.    Функция  f = f(x)  называется бесконечно большой при  х ®  хо,  если  "e > 0  $ d = d (e) > 0: ç¦(x)ç > e,  "x : çx -xoç< d,                                     x < xo.    В этом случае будем писать  .

 

         Если   "e > 0     $ d   :   ¦(х) > e     ( ¦(х) < - e)   "х :   çх-хо ç <  d, 

   х  ¹ хо     Þ   ,   (  ). 

         По аналогии с конечными односторонними пределами определяются односторонние бесконечные пределы     ,         .

З а м е ч а н и е.     Величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой.

       Пусть  a = a (х),   a (х) ¹ 0  при  х ¹ хо   есть  в бесконечно малой (или бесконечно большой)  тогда     бесконечно большая (бесконечно малая).

     В дальнейшем будем использовать символические записи для любого числа   а>0 :,   , ,    ,   ,     .

 

         Рассмотрим свойства бесконечно малых функций.

 

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых, определенная на  общем множестве, есть величина бесконечно малая при  х ® хо.

2)  Произведение ограниченной при  х ® хо  функции на бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

2")  Произведение конечного числа бесконечно малого  при  х ® хо    есть функция бесконечно малая.

3)  [a( х ) ]n  - ( n - целая положительная степень)  a (х) -  бесконечно малая   тогда и  [a (х) ]n  -  бесконечно малая.

4)  Что касается отношения двух бесконечно малых

                     ,            

        -  может быть функция произвольного поведения.

     Но с помощью действия деления можно сравнить между собой бесконечно малые.

 

Определение 3.6.    a (х),  b (х)    бесконечно малые при  х ® хо   имеют одинаковый порядок, если их отношение имеет конечный предел, отличный от нуля,  т.е.=K¹ 0.

Определение 3.7. Порядок бесконечно малой  b (х)  выше порядка бесконечно малой  a(х), если отношение     есть бесконечно малое  при  х ® хо,  т.е.    = 0.

 

         В этом случае пишут   b(х) = 0 [a (х)]    при  х ®  хо  .

 

Определение 3.8. Бесконечно малая  b (х) имеет предел  n  относительно  бесконечно малой  a (х)   при  х ®  хо,   если

 = K ¹ 0.

 

 

         Докажем одно из свойств сформулированных в1.5.3., например, свойство

4. Если   существуют конечные пределы     и   , тогда:

               

Д о к а з а т е л ь с т в о:    Пусть  ,           

Тогда имеем на основании   3.2.    ¦(х) = A + a (х),    g(х) = B + b(х),  где  a(х),  b(х) - бесконечно малые при     х ®  хо

Тогда  ¦(х) × g(х) = A × B + g(х),   где  g(х) = A × b (х) + b × a) + a (х) × b(х)  -

есть бесконечно малая  Þ  g(х) ® 0  бесконечно малая на основании свойств бесконечно малой функции.

Отсюда

             .

         Рассмотрим в качестве примера предел отношения синуса бесконечно малой дуги  к самой дуге.

 

Теорема.(Первый замечательный предел). Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах,  равен единице,     .

 

Д о к а з а т е л ь с т в о:

                   Пусть  х > 0    и    х ® 0,  так  что     0 <  х  <  .

 

Рис.3.4.

 

         В тригонометрическом круге  R = 1  рассмотрим    S DОАВ,                                                                                       S cек. ОАВ,  SDОАВ

 SDОАВ = SDОАВ =

Получаем        

т.е.   Sin x < x < tg x    разделим на  Sin x > 0, получим

       1 <        или     cos x < .

Пусть  теперь х ®  0 + 0,  но  

т.к.    1 - cos x = 2 sin2    бесконечно малая по условию,

то  .  Тогда функция     заключена между  двумя функциями, имеющими предел, равный 1.

         На основании свойства 1, получаем       .

         Если  х < 0 ;   имеем   ,   где  - х > 0.

     Поэтому    .

З а м е ч а н и е.    " х   çsin x ç  £  çx ç,   причем равенство имеет место при 

х = 0.

 

 

         Второй замечательный предел. (Число  е).

Ранее было доказано, что последовательность имеет предел, заключенный между 2 и 3.

Можно доказать, что функция у = ,    х Î (-¥, -1) È (0, +¥)  при  х ® ¥   стремится к   е:

е = .

Пусть  , тогда     e =   или ,

где   е = 2,7182818284... .

 

Пример практического применения понятия предела функции в экономических расчетах

 

Назад  Далее