7. Геометрический смысл производной и дифференциала

Понятие производной и дифференциала функции в данной точке связано с понятием касательной в этой точке.

Пусть y = ¦(х) определена на интервале (a, b) и непрерывна в точке

х_о Î (а, в) и пусть у_о = f (х_о). Введем в рассмотрение точки:

М_о(х_о, у_о), х_о + h Î (а, в) ; М_h (х_о + h, f(х _о + h)).

Рис. 7.1.

Проведем секущую М_о М_h, тогда уравнение прямой, проходящей через две данные точки, можно записать

у = К(h) (х - х_о) + у_о ,

где (7.1)

Покажем, что при h ® 0 расстояние r (M_о, M_h) ® 0, в этом случае будем говорить, что точка М_h ®M_о. Действительно, в точке х_о функция f - непрерывна, следовательно,

, а

В силу равенства (7.1) существование предела функции К(h) эквивалентно существованию производной (конечной или бесконечной), причем = К_о = f^/ (x_о).

Предельное положение секущей М_о М_h при h ® 0 называется касательной к графику f в точке х_о.

В результате мы пришли к следующей теореме.

Теорема 7.1. Пусть функция f непрерывная при х = х_о. В точке (х_о, f (х_о)) существует наклонная, касательная к графику функции f, тогда и только тогда, когда f имеет в точке х_о производную. При этом уравнение касательной имеет вид у = f^/(x_о) (x -x_о) + y_о и, значит, производная в точке х_о равна тангенсу угла наклона касательной к оси ОХ, а дифференциал в точке х_о равен приращению ординаты касательной.

Рис.7.2.

, тогда получим

PT = Dx × tg a = h × tg a = y^/ × dx = dy.

Таким образом, дифференциал функции у = f(х) в точке х_о равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х_о получает приращение D х .

Заметим, что Dу ¹ dy

То есть отсюда мы имеем приближенное равенство:

f(x_o + Dx) - f(x_o) @ f^/(x_o) × Dx (7.4)

f(x_o + Dx) @ f(x_o) + f^/(x_o) × Dx (7.5)

Таким образом, наклонная касательная к графику функции обладает тем свойством, что разность ординат графика функции и этой касательной есть величина бесконечно малая по сравнению с приращением аргумента при х ® х_о.

8. Основные правила для дифференцируемых функций

Д о к а з а т е л ь с т в о. (Самостоятельно).

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы для u = f(x),

с - const, тогда (c × u)^/ = c × u^/ .

Следствие 2. Пусть выполняется условие теоремы для последовательности

функций u₁ = f₁ (x), u₂ = f₂ (x), . . . , u_n = f_n(x)

и c₁, c₂, . . . , c_n - const.

Тогда (c₁ × u₁ + . . . + c_n u_n)^/ = c₁ u₁^/ + . . . + c_n × u_n^/ .

Свойства функции 1, 2, 3 переносятся на дифференциалы функции при тех же предположениях в точке х_о.

1. d (u₁ + v₂) = du₁ + dv₂ ,

d (cu) = c × du;

2. d (u₁ × v₂) = v₂ du₁ + u₁dv₂ ;

3. d

8.1. Производная обратной функции

Д о к а з а т е л ь с т в о: Зафиксирована окрестность О(х_о), в которой выполнены условия теоремы, тогда обратная функция определена, однозначна и непрерывна на некотором интервале, содержащем точку у_о, а именно на образе указанной выше окрестности точки х_о и, значит, если Dх =х - х_о, Dу = у - у_о, у = f(х) то условия Dх ® 0 и Dу ® 0 эквивалентны.

при Dх ® 0

существует предел левой части, т.к. существует предел правой части

Но поэтому , что и требовалось доказать.

Геометрическая интерпретация доказательства очевидна.

Рис. 8.1.

Из геометрического смысла производной имеем , .

Очевидно, что , поэтому

.

Примеры:

1. y = arcsin x, x = sin y

так как , то cos y ³ 0, поэтому

.

2. , - самостоятельно.

3. , - самостоятельно.

4. , - самостоятельно.

5. y = log_a x, x = a^y, a > 0, a ¹ 1, x > 0 , y Î (-¥; +¥)

если .

8.2. Производная и дифференциал сложной функции

Д о к а з а т е л ь с т в о: так как y = f(x), z = F(y) имеют производную в точке х_о, то они непрерывны (см. теорему 5.1) соответственно в точке х_о, у_о и имеем сложную функцию Ф(х) = F[f(x)], которая дифференцируема в точке у_о

D z = F¢(y_o) Dy + e(Dy) × Dy, (8.3)

где функция не определена при Dу = 0, но мы доопределим: при Dу = 0 положим e(o)=0, тогда e (Dу) будет непрерывна и при Dу = 0.

Поделим обе части уравнения (8.3) на Dх ¹ 0.

Получим

(8.4)

у = f(x) имеет производную в точке х_о , т.е. существует ,

а из существующей производной f^¢(х_о ) следует непрерывность функции у = f (х) в точке х_о:

При Dх = 0 имеет Dу = 0, следовательно, Dу как функция от Dх, непрерывна в точке Dх = 0. Поэтому согласно правила замены переменных в пределах непрерывных функций имеем

Теперь в (8.4), переходя к пределу при Dх ® 0, получим (8.3).

Следствие 1. Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных

dz = F^¢ (y_o ) dy = Ф^¢ (х_o ) dx (8.5)

Следствие 2. Эту теорему по индукции можно распространить на любое конечное число суперпозиций функции.

Пример: z (y (x (t))) в случае дифференцирования z (y), y (x), x (t) в соответствующих точках имеет место формула

В случае сложной функции для обозначения производной используется нижний индекс, указывающий, по какой из переменных берется производная

Примеры:

1. Пусть у = х^a, х > 0

нужно определить .

Пусть х^a = l^u, где u = a × ln x, тогда

(x^a )^¢ = a × x^a-1.

2.

3. Пусть F (x, y) = 0, т.е. функция задана неявно, нужно найти производную такой функции.

F(x, y(x)) º 0 рассмотрим как сложную функцию и определим .

x² + y² = 25

Метод дифференцирования неявных функций может быть применен к выводу формул, полученных ранее.

Пусть U = u(x) - дифференцируемая функция, то

(Sin U)^/ = U^/ × cos u; (l^u )^/ = l^u × u^/;

(Cos U)^/ = -U^/ sin u;

Если u = x тогда, получим производные основных элементарных функций.

9. Понятие о производных и дифференциалах высших порядков

Производная f¢(x) от функции F(x) называется производной первого порядка и представляет собой некоторую функцию. И, если эта функция тоже имеет производную, тогда производная от производной первого порядка называется производной второго порядка и обозначается f¢¢(x), т.е. f¢¢ (x) = [f¢ (x)]¢.

Аналогично определяется производная f⁽ⁿ⁾ (x) любого порядка

n=1, 2, ... ; если существует производная f^(n-1) (x) n-1 порядка ( при этом под производной нулевого порядка подразумевается сама функция f^(o) (х) = у = f(x).

Согласно определения производной в точке х_о получим

З а м е ч а н и е. Когда говорят, что f имеет в точке х_о производную порядка n, то это значит, что в некоторой окрестности точки х_о у функции f существуют все производные низших порядков.

Пусть х - независимая переменная и у = f (x) есть дифференцируемая функция на некотором интервале (а, в). Тогда

df (x) = f¢ (x) dx; есть функция двух переменных: x и dx.

Будем предполагать, что dx - дифференциал независимой переменной х - имеет произвольное, но фиксированное значение.

Если существует вторая производная f¢¢(x), то df(x) имеет дифференциал и он называется вторым дифференциалом.

Аналогично, дифференциалтретьего порядка d³f(x) = d [d² f (x)].

Так последовательно определяются дифференциалы высших порядков.

Выведем формулу для дифференциала второго порядка. Пусть f(x) - дважды дифференцируема (т.е. имеет вторую производную), т.к.

df(x) =f¢ (x) dx, тогда согласно (9.6) имеем d² f(x) = d [df (x)].

Если х - независимая переменная, то dx, равный Dх, очевидно, не зависит от х по отношению к переменной х играет роль постоянной.

d² f(x) = d [f¢ (x) dx] = dx × d [f¢ (x)] = {f¢ (x) - снова некоторая функция от х} = [ f¢¢ (x) dx] dx = f² (x) dx², где dx² = (dx)².

Таким образом, мы доказали теорему.

З а м е ч а н и е. Формула d² f(x) = f² (x) dx², вообще говоря неверна,если х не является независимой переменной, т.к. dx нельзя рассматривать как множитель, не зависимый от х.

10. Приложения производной

10.1. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть для определенности f в точке x принимает наибольшее значение, т.е. f(x)£f(x) для всех xÎ (a,b), тогда, если x<x

, (10.1)

если x<x

. (10.2)

Если существует производная , то в пределе при х® x-0 из (10.1) получим, что f^/(x)³0, а из (10.2) при х® x+0 Þ f^/(x)£0, что возможно лишь в случае f^/(x)=0.

Рис. 10.1.

Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том, что если в точке xÎ (a,b) функция f принимает наибольшее или наименьшее значение, то касательная в точке (x,f(x)) к графику функции параллельна оси Ох.

Назад Далее