Лекция N11.

4. Определенный интеграл

4.1. Определение интеграла по Риману

Пусть f(x) - функция, непрерывная на данном отрезке [a,b], где a < b (a>b), и

F(x) - некоторая первообразная при хÎ[a,b].

Разобьем отрезок [a,b] на n частей

а = х₀< x₁< x₂< ... < x_n= b. (4.1)

Обозначим длину отрезка [х_i-1, х_i] (i = 1¸k) через Dх_i= х_i- х_i-1.

Тогда величина (4.2)

называется мелкостью разбиения.

Зафиксируем произвольным образом точки

x_iÎ[x_i-1,x_i], i=1,2,...,k

и составим сумму

. (4.3)

Суммы вида (4.3) называются интегральными суммами Римана.

Определение 4.1. Функция f называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b], если существует такое число А, что любой последовательности разбиений отрезка [a,b], у которой и для любого выбора точки x_iÎ [х_i-1,х_i], (i=1¸n) выполняется равенство

, (4.4)

где

(i=1¸k, n=1,2, ...).

Если выполнены все условия определения 4.1, то число А назовем (Римановым) определенным интегралом функции f на отрезке [a,b] и будем обозначать

. (4.5)

Таким образом,

где ,

или подробно

. (4.6)

Определение 4.2. Число А называется определенным интегралом функции f на отрезке [a,b], если для " e>0 $ d=d(e)>0 : для любого разбиения [a,b], мелкость которого меньше d_i d_t<d, каковы бы ни были точки x_iÎ[x_i-1,x_i], то будет выполнено неравенство

где Dх_i=х_i-х_i-1, i=1¸k.

Если F(x) - первообразная, то под определенным интегралом понимается соответствующее приращение первообразной на [a,b], то есть

(4.7)

(формула Ньютона-Лейбница).

Мы докажем эту формулу позже.

Запишем формулу Ньютона-Лейбница в следующем виде

где a и b назовем соответственно нижним и верхним пределом интегрирования.

4.2. Свойства определенного интеграла

1. .

2. Если f интегрируемая на [a,b] тогда она интегрируемая на любом [a^*,b^*] Ì [a,b]. Кроме того, будем считать, что для всех f(х), имеющий смысл в точке a, тогда

3. Пусть a<c<b. Если f(x) интегрируемая на [a,c] и [c,b] тогда она интегрируемая и на [a,b], причем

- (aддитивность). (4.8)

4. Если функции f и g интегрируемые на [a,b], а a,b - некоторые константы, то их сумма af + bg так же интегрируемая на [a,b]

- (линейность). (4.9)

5. Определенный интеграл от непрерывной функции не зависит от выбора первообразной для подынтегральной функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть F(х) и F₁(х) - две различные первообразные непрерывной на [a,b] функции f(x) интеграла

, тогда F₁(x)=F(x)+C, но тогда

Тогда мы получаем замечательное следствие

, (4.10)

где под понимается одна из первообразных для f(x).

Формула (4.10) устанавливает связь между неопределенным и определенным интегралами.

З а м е ч а н и е. Определенный интеграл - число, неопределенный интеграл - функция.

6. Если f интегрируемая на [a,b], a C - const следовательно c×f также интегрируемая на [a,b] и

7. Если f(x), g(x) - интегрируемые на [a,b], их произведение f(x)×g(x) также интегрируемое на [a,b].

8. Если f(x) и g(x) интегрируемые на [a,b] и f(x)³g(x) " хÎ [a,b] Þ

а) .

б) .

в) , (a < b).

9. Если f(x) интегрируемая на [a,b] тогда и çf(x)ç также интегрируемая на [a,b]

, (a < b).

4.3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть f(x) интегрируемая на [a,b]. Тогда по свойству (2) она интегрируемая на любом отрезке [а,х], где а< х< b, то есть " хÎ[a,b] имеет смысл интеграл

Пусть F(x) - первообразная f(x) (F^/(x)=f(x)), тогда согласно формуле Ньютона- Лейбница имеем

Отсюда

Следовательно, производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной функции для этого предела

Таким образом

является первообразной для подынтегральной функции f(x).

Отметим, что F(х) - это та первообразная f(x), которая обращается в ноль, когда х = а.

Аналогично , .

З а м е ч а н и е.

. (4.11)

4.4. Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. (Основная теорема интегрального исчисления). Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х) является какой-нибудь ее первообразной на этом отрезке . Тогда

. (4.12)

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Положим ,

но тогда F, Ф - две первообразные одной и той же функции f(x) , то есть

F(x) = Ф(х) + С, а £ х £ b,

то есть

При х = а следует, что С = -Ф(a).

Таким образом

Полагая здесь х = b, получим (4.12).

Теорема доказана.

4.5. Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть f(x), заданная на [a,b], непрерывна и нужно определить площадь, ограниченную кривой y = f(x) и прямыми х = а, х = b, y = 0.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

S_i(x) = f(x_i)×Dx_i, где Dх_i= х_i- х_i-1.

Устремим n ® ¥, Dx_i ® 0. Возьмем

Но тогда

Таким образом, определенный интеграл от непрерывной неотрицательной функции при a £ b равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

4.6. Теорема о среднем для определенного интеграла

Теорема 4.2. (о среднем). Если f(x) интегрируемая на [a,b] и

m £ f(x) £ M, xÎ[a,b] тогда

m×(b-a) £ £ M×(b-a).

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Воспользуемся свойствами определенного интеграла:

(4.13)

Следствие. Если f(x) непрерывна на [a,b], тогда существует точка xÎ[a,b] такая, что

. (4.14)

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Так как f(x) непрерывна на [a,b] тогда пусть ,

и, следовательно,

Таким образом, число

находится между наибольшим и наименьшим значением функции f(x). Но тогда по теореме Коши существует точка xÎ[a,b] такая, что

5. Методы вычисления определенного интеграла

5.1. Замена переменного

Пусть необходимо вычислить

где f(x) непрерывна на [a,b]

и пусть х = j(t), a £ t £ b, когда а £ j(t) £ b непрерывно-дифференцируемая функция. Тогда

. (5.1)

Для доказательства (5.1) рассмотрим сложную функцию F(j(t)), где F(x) - первообразная для f(x), то есть F^/(x)=f(x). Применяя правило дифференцирования для сложной функции, получим

На основании формулы Ньютона-Лейбница будем иметь

Пример.

5.2. Интегрирование по частям

Теорема 5.1. (Формула интегрирования по частям для определенного интеграла). Если u = u(x) и v = v(x) непрерывны вместе со своими производными на [a,b], то

. (5.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Рассмотрим тогда все интегралы существуют,

так как функции непрерывны.

По формуле Ньютона-Лейбница

Отсюда следует (5.2).

Пример.

5.3. Приближенное вычисление определенного интеграла

а). Метод трапеций

Пусть необходимо вычислить

который вычисляется точно далеко не всегда.

Воспользуемся геометрическим смыслом и получим приближенную формулу для вычисления интеграла.

Рис. 4.3

Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей длиной ( h - шаг разбиения).

Тогда точки разбиения х_i= х₀+i×h, a y_i= f(x_i), i = 0,1, ... , n дадут нам n трапеций с основаниями y_i= f(x_i) и высотой h.

Суммируя площади этих трапеций, будем иметь формулу трапеций для вычисления приближенного интеграла

. (5.3)

б) метод Симпсона

Иногда лучшее приближение дает другая формула, профиль криволинейной трапеции полоски (трапеции) считать параболическим.

Разделим [a,b] на n = 2×m частей.

И на каждом участке аппроксимируем нашу кривую

y = f(x) параболой

y = A×x²+B×x + C.

(См.Рис. 4.5.)

Например, если h мало, то кривую y = f(x)

Можно заменить параболой

y = A×x²+ B×x + C, проходящей через точки

М(х_0,у₀), L(x_1,y₁), D(x_2,y₂).

Но нам нужно определить коэффициенты А,В,С для параболы.

С одной стороны

. (5.4)

С другой стороны, если х₀= -h, тогда A×h²- B×h + C = y_0,

при x₁= 0 получаем C = y₁,

и x₂= h - A×h²-B×h+C = y₂

то есть y₁ = C, a .

Тогда подставим полученные значения в (5.4), получим

Но так мы можем аппроксимировать на любом промежутке [a,b] любого разбиения

(Формула Симпсона).

5.4. Несобственные интегралы

При определении определенного интеграла всегда предполагалось, что промежуток интегрирования [a,b] - конечен, а f(x) - подынтегральная функция - определена и непрерывна на [a,b]. Такой определенный интеграл называется собственным.

Если хотя бы одно из условий нарушено, то интеграл называется несобственным определенным интегралом.

1. Пусть f(x) - непрерывная при хÎ[а,¥), тогда

. (5.5)

Если предел (5.5) существует, то говорят, что несобственный интеграл является сходящимся, в противоположном случае интеграл называется расходящимся.

Геометрический смысл:

Если F(х) - первообразная для f(x), тогда

. (5.6)

(5.6) - обобщенная формула Ньютона-Лейбница.

Пример.

2. Пусть f(x) непрерывна , хÎ[a,b), а в точке b терпит разрыв, тогда

Пример.

6. Приложения определенного интеграла

6.1. Площадь плоских фигур

Рассмотрим приложения определенного интеграла для вычисления площадей некоторых плоских областей.

Пусть требуется определить S - площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x), отрезком a £ x £ b и x = a, x = b на основании геометрического смысла определенного интеграла

, (6.1)

где y = f(х).

Пусть y₁= f₁(x), y₂= f₂(x) (y₂³ y₁), x = a, x = b. f₁(x), f₂(x) ³ 0 при xÎ[a,b].

Тогда .

Если f₁(x) = y₁, f₂(x) = y₂

; - решение системы. Тогда так же имеем

. (6.2)

6.2. Объем тела вращения

Необходимо определить объем тела V_х, образованного вращением вокруг оси О_х криволинейной трапеции

y = f(x) (f(x) ³ 0), отрезок a £ x £ b.

S(x) = p×y², dV_x= p×y²dx

. (6.3)

Пусть теперь необходимо определить объем тела V_у, образованного вращением вокруг оси О_у криволинейной трапеции

x = g(y) ³ 0, y = c, y = d

. (6.4)

6.3. Длина дуги

Определение 6.1. Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает неограниченно, а длина наибольшего ее звена стремится к нулю.

Если кривая непрерывна и в каждой точке имеет касательную, непрерывно меняющую свое положение от точки к точке, то будем называть такую кривую гладкой.

Пусть y = f(x) - гладкая кривая для xÎ[a,b] и f(x) - непрерывна вместе с f^/(x) на [a,b].

Теорема 6.1. Каждая гладкая кривая y = f(x) на [a,b] имеет определенную конечную длину дуги.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Если спроектировать звенья ломаной на ось Ох , получим разбиение отрезка [a,b] на систему отрезков Dx_i, Dy_i - приращение данной функции