Глава IV

Дифференциальные уравнения

1. Понятие о дифференциальном уравнении

Обыкновенным дифференциальным уравнением n^го порядка называется уравнение вида:

F(x, y, y^/,y^//,..., y⁽ⁿ⁾) = 0. (1.1)

Примеры.

, y^///= lnx, ...

Если уравнение (1.1) имеет вид :

а₀(х)×у⁽ⁿ⁾+ а₁(х)×у^(n-1)+ ... + а_n(х)×у = f(x), (1.2)

где а_i(х) (i=0,1,...,n ) называются коэффициентами уравнения (линейного); они обычно определены и непрерывны на некотором общем интервале, а f(x) - правая часть линейного уравнения или свободный член.

Если f(x) º 0 уравнение (1.2) называется однородным, в противном случае - неоднородным.

Любая функция у = j(х), подставленная в (1.2), обращающая его в тождество, называется решением этого уравнения. График решения (то есть кривой у=j(х)) называется интегральной кривой.

Основная задача - отыскание (поиск) функции у, производная которой равна данной непрерывной функции f(x), - то есть сведение к простейшему дифференциальному уравнению у^/= f(x).

Общее решение этого уравнения есть

, (1.3)

где С - произвольная константа, а - одна из первообразных.

Выбрав надлежащим образом С, можно получить любое решение этого простейшего дифференциального уравнения.

З а м е ч а н и е. При интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков появляется несколько произвольных постоянных.

Пример.

у^//= 0 (уравнение второго порядка).

Так как у^/= (у^/)^/= 0 тогда у^/= С₁, но тогда - общее решение.

Определение 1.1. Общим решением дифференциального уравнения (1.1) называется такое его решение

y = j(x,C₁,C₂,...,C_n),

которое содержит число констант, равное порядку этого уравнения.

Если общее решение записано в неявном виде F(х,у,С₁,...,С_n) = 0, то его обычно называют интегралом.

Определение 1.2. Всякое решение дифференциального уравнения , которое получается из общего при определенных значениях независимых постоянных, называется частным решением этого уравнения.

Пример.

С₁= 2, С₂= -5 тогда у = 2×х - 5 - частное решение уравнения у^//=0.

1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида

F(x, y, y^/) = 0 (1.4)

называется уравнением первого порядка.

В простейших случаях оно может быть разрешено относительно

у^/= f(x,y). (1.4’)

Общее решение (1.4) имеет вид

у = j(х,С), (1.5)

где С - константа.

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых.

Интегральные кривые обладают тем свойством, что все касательные в точке М(х,у) имеют наклон tga = f ’(x,y).

Если задать точку М₀(х₀,у₀), через которую должна проходить интегральная кривая, то это требование называется начальным условием y = у₀, х = х₀ и тогда

у₀= j(х₀,С₀).

Определяется С - константа; в результате получаем частное интегральное решение у = j(х,С₀).

В этом состоит задача Коши.

Задача Коши. Найти решение у = j(х) дифференциального уравнения (1.4’), удовлетворяющее начальному условию: у₀=j(х₀).

З а м е ч а н и е. Нет общего метода интегрирования уравнения первого порядка. Обычно рассматривают некоторые отдельные типы таких уравнений, для каждого из которых дается свой способ.

1.3. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение 1.3. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид

f₁(x)×g₁(y)dx + f₂(x)×g₂(y)dy = 0, (1.6)

где f₁,f₂ - функции переменной х, а g₁,g₂- функции переменной у.

Для решения (1.6) разделим его на g₁(y)×f₂(x), предполагая, что оно не обращается в нуль.

Проинтегрировав, получим

. (1.7)

Тогда (1.7) - это общий интеграл в неявной форме.

Пример.

у^/×х -у = 0.

или .

Þ .

у = С₁×х, (х ¹ 0, С₁¹ 0).

1.4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Рассмотрим многочлен

он называется однородным степени n, если все его члены имеют один и тот же порядок n, то есть для каждого а_ij×хⁱ×у^j имеем i+j=n.

Определение 1.4. Функция Р(х,у) называется однородной степени n, если для любого k - числа - имеет место тождество

Р(k×х,k×у) = kⁿ×P(x,y).

Пусть дано уравнение

Р(х,у)dx+Q(x,y)dy=0. (1.8)

Если P(x,y),Q(x,y) - однородные функции одной и той же степени n, тогда (1.8) является однородным уравнением первого порядка.

Для решения таких уравнений пользуются подстановкой или , которая приводит к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример.

х²+у²-2×х×у×у^/=0.

Предположим, что х×у ¹ 0. Тогда

следовательно, у = u×x , а отсюда dy = udx+xdu

После приведения подобных и перегруппировки членов имеем

следовательно, x²-y²=C₁×x - решение.

Сделаем проверку

1. Если х = 0 тогда C₀= 0 и, следовательно x²= y².

2. 1-u²= 0 .

Пусть теперь однородное дифференциальное уравнение имеет вид

у^/= f(x,y) или .

Тогда dy=f(x,y)dx, то есть при dy стоит коэффициент, равный единице, то есть имеем однородную функцию нулевой степени: следовательно, f(x,y) должна быть однородной функцией нулевой степени.