Глава V

Ряды и понятие о сходимости рядов

1. Числовые ряды

1.1. Определение ряда и его сходимость

В настоящей главе обобщим понятие суммы на некоторые случаи бесконечного числа слагаемых и изучим свойства таких сумм.

Определение 1. Пусть задана последовательность чисел

а₁, а₂, а₃, ..., а_n, ... (1.1)

Выражение вида

(1.2)

называется рядом, а число а_n - его n-ным членом, n = 1,2,... .

Сразу же заметим, что в нашем случае (1.2) - числовой ряд. Если же последовательность есть последовательность функций, то ряд называется функциональным (а_n= f_n(x), n = 1,2,...).

Примеры.

а_n= а×q^n-1, .

Понятно, что изучение функциональных рядов всегда можно свести к изучению числовых рядов, зафиксировав х = х₀.

Ряд (1.2) считается заданным, если мы знаем его общий член а_n (то есть член, стоящий на n-ном месте). Из теории последовательностей мы знаем, что а_n выражается как функция номера n.

Определение 2. Конечная сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой, а оставшиеся члены, начиная с n + 1, написанные в том же порядке, что и в данном ряду, называется n-ным остатком ряда.

(1.3)

S_n - n-ная частичная сумма (n = 1,2,...,k)

R_n= a_n+1+ a_n+2+ ... + a_n+i+ ... , (1.4)

R_n - остаток ряда.

Определение 3. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится. Если ряд не сходится, то говорят, что он расходится.

Если ряд сходится, то называется его суммой.

. (1.5)

Если , то .

Если ряд - функциональный, то есть u_n= f_n(x), то для каждого фиксированного аргумента х числовой ряд f₁(x₀) + f₂(x₀) + f₃(x₀) + ... или сходится, или расходится. Соответственно этому точку х будем называть точкой сходимости или точкой расходимости.

Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости данного ряда.

Если u_n= f_n(x) (n = 1,2,...) и функциональный ряд сходится в каждой точке некоторого множества, то говорят, что он сходится на этом множестве, а функция S = S(x), определенная для каждого фиксированного значения из этого множества, называется суммой этого ряда на данном множестве

Пусть R_n= S - S_n, тогда R_n - остаток ряда и представляет собой погрешность, которая получается, если в качестве суммы ряда взять S_n .

Тогда понятно, почему первой и основной задачей теории рядов будет исследование сходимости ряда.

Пример. Исследовать на сходимость ряд:

1. а + а×q + а×q²+ ... (a ¹ 0)

Рассмотрите четыре случая:

1) ; 2) ;

3) q = -1; 4) q = 1.

2. Доказать сходимость ряда

Отсюда следовательно, .

Таким образом имеем

1.2. Сходимость ряда (свойства)

Теорема 2.1. Сходимость ряда не нарушается, если все его члены умножать на одно и то же число, отличное от нуля

, где k не является константой.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Так как , то имеем, что.

Под суммой (разностью) двух рядов

будем понимать соответственно ряд вида

Теорема 2.2. Сумма (разность) двух сходящихся рядов есть ряд сходящийся, причем

. (2.1)

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Для любого конечного числа N

, но

и согласно условию теоремы. Тогда

Теорема 2.3. (Необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд сходится, то .

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Пусть

S_n-1= a₁+ a₂+ ... + a_n-1;

S_n= a₁+ a₂+ ... + a_n-1+ a_n.

Тогда a_n= S_n- S_n-1, и так как данный ряд сходится, то имеем, что и . Следовательно, .

Следствие. Если , то ряд расходится.

З а м е ч а н и е. Сходимость к нулю члена ряда а_n не является достаточным признаком сходимости ряда.

Пример.

- гармонический ряд.

Покажем, что ряд расходится.

Очевидно, что

Таким образом ; полагая n = 2^m, имеем, что если n®¥, то и m®¥, следовательно,

Следовательно, ряд расходится.

1.3. Признак сравнения рядов

Пусть теперь необходимое условие выполнено, то для определения сходимости ряда нужно воспользоваться какими-то достаточными признаками сходимости.

В дальнейшем мы будем использовать нижеследующую лемму.

Лемма 3.1. Если в ряде

а₁+ а₂+ ... + а_р+ а_р+1+ ... (3.1)

отбросить конечное число его первых членов, то остаток ряда

R_р= a_р+1+ a_р+2+ ... (3.2)

будет сходиться или расходиться одновременно с данным рядом.

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Пусть

Q = a₁+ a₂+ ... + a_p,

S_n - конечная сумма ряда (3.1)

- конечная сумма ряда (3.2)

Тогда , следовательно, .

Предположим, что (3.1) сходится и . Тогда и . В этом случае , что свидетельствует о сходимости ряда (3.2).

Предположим теперь, что ряд (3.2) сходится. Тогда и, следовательно, , поэтому ряд (3.1) тоже сходится.

Следствие. При исследовании сходимости ряда можно игнорировать конечное число его членов.

Теорема 3.1. (признак сравнения). Если члены ряда неотрицательны и не превышают соответствующих членов сходящегося ряда, то данный ряд сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Пусть дан ряд

а₁+ а₂+ ... + а_n+ ... ,

который необходимо исследовать на сходимость.

А ряд - сходится, и выполняется следующее условие

a_i£ b_i(I = 1,2,...).

Пусть

S_n=a₁+a₂+...+a_n,

Так как ряд сходится, то следовательно, , где S^/ - сумма ряда.

Согласно условию теоремы

0 £ a₁£ b₁, 0 £ a₂£ b₂, ..., 0 £ a_n£ b_n, ...

Но тогда . Следовательно, S_n представляют собой ограниченную монотонно возрастающую последовательность, то есть имеет предел.

А это и доказывает сходимость .

Следствие. Если дан ряд, и его члены не меньше соответствующих членов знакоположительного ряда и этот второй ряд расходится, то и данный ряд будет расходиться.

Действительно, если бы данный ряд сходился, то, по доказанной теореме, и второй ряд бы сходился, что противоречит нашему условию.

Пример. Задан ряд (1) исследовать его на сходимость.

1. сравним его с рядом (2)

2. сравним их n члены

(n=2,3, ...)

2 - гармонический расходящийся ряд, следовательно, 1 - расходится.

1.4. Признак сходимости Даламбера

Рассмотрим некоторые специальные признаки сходимости ряда. Отметим среди них признак Даламбера и признак Коши.

Теорема 4.1. (признак Даламбера). Пусть дан ряд с положительными членами

, u_n> 0, n=1,2, ... (4.1)

Тогда

1. Если существует q такое, что 0 < q < 1 и существует n₀ такое, что для любого n > n₀, то ряд (4.1) сходится;

2. Если существует n₀ такое, что для любого n > n₀, то ряд (4.1) расходится.

То есть если .

Следствие.

1. при q < 1 ряд сходится;

2. при q > 1 ряд расходится;

3. при q = 1 необходимо дополнительное исследование; ряд может и сходиться, и расходиться.

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Пусть ряд (4.1) состоит из положительных членов и пусть

1. При 0 < q < 1 существует n₀ такое, что при n > n₀ , то есть u_n+1£ q×u_n при любом n > n₀, то есть

..............................................

.....................................................

а так как ряд

сходится, являясь геометрической прогрессией со знаменателем q (0 < q < 1), то по признаку сравнения сходится и ряд

но это остаток ряда , который сходится. Тогда согласно лемме и весь ряд (4.1) сходится.

2. Пусть q>1. Выберем e такое, что q-e>1 для любого n³n₀ имеем

, , ...

Так как по предположению член ряда u_n> 0 и ограничен снизу положительной константой, то , и, следовательно, ряд расходится.

3. q = 1. На примерах можно показать, что ряд в одних случаях сходится, а в других расходится.

Замечание.

1. Если ряд (4.1) функциональный и u_n= f_n(x)>0 и l = l(x) - соответствующий предел, то 1,2,3 верны для каждого х.

2. Из теоремы следует (см. следствие 2), что если , то .

Пример.

, .

Каково поведение ряда при различных значениях параметра а (a < 1, a > 1, a = 1) ?

Если 0 < а < 1, то ряд расходится и расходится при а > 1.

Если а = 1, то признак Даламбера ответа не дает, но тогда имеем гармонический ряд

который расходится.

Теорема 4.2. (признак Коши). Пусть дан ряд , а_n³ 0, (n = 1,2,...). Тогда:

1. Если существуют q и n₀ такие, что 0 < q < 1 и для любого n ³ n₀ выполняется

, то ряд сходится.

2. Если существуют q и n₀ такие, что 0 < q < 1 и для любого n ³ n₀ выполняется ,

то ряд расходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о :

При n ³ 1 , то есть a_n£qⁿ . Применим признак сравнения.

Если при 0 < q < 1 сходится, следовательно, ряд тоже сходится.

Если же , тогда и ряд расходится.

Пример.

Исследуем на сходимость ряд .

Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Следствие.

Пусть существует .

1. Если l < 1, то ряд сходится.

2. Если l > 1, то ряд расходится.

1.5. Знакопеременные ряды и абсолютная сходимость

Рассмотрим ряды с вещественными членами, знаки которых, вообще говоря, изменяются при изменении номера. Такие ряды называются знакопеременными рядами.

Теорема 5.1. Если для знакопеременного ряда сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов , то и данный ряд сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Рассмотрим ряд . Так как при всех n = 1,2, ...

то ряд сходится. Hа основании признака сравнения сходится и ряд ,

так как .

Замечание. Обратное утверждение неверно. Если данный ряд сходится, то ряд из абсолютных величин его членов может или расходиться, или сходиться.

Таким образом, все ряды можно разбить на два класса:

1. К первому классу сходящихся рядов отнесем ряды, которые сходятся сами, и при этом ряды, составленные из абсолютных величин их членов, тоже сходятся - это так называемые абсолютно сходящиеся ряды.

2. Ко второму классу отнесем ряды, которые сходятся сами, но при этом ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся - это так называемые условно сходящиеся или неабсолютно сходящиеся ряды.

Пример.

- абсолютно сходящийся ряд ?

Данный ряд и ряд составленный из абсолютных величин дают нам ряды, которые образуют геометрические прогрессии со знаменателями -1/2 и 1/2 и, следовательно, сходятся.

1.6. Признак сходимости Лейбница для знакопеременных рядов

Ряд вида

a₁- a₂+ a₃- a₄+ ... + (-1)ⁿ^-1×a_n+..., (6.1)

a_n³ 0 при n = 1,2,3,... называется знакопеременным (то есть рядом стоящие члены имеют противоположные знаки).

Для таких рядов справедлива следующая теорема.

Теорема 6.1. (Лейбница). Если абсолютные величины членов знакопеременного ряда (6.1) монотонно убывают при n ® ¥, то есть

и , то ряд 6.1 сходится (вообще говоря, неабсолютно).

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Рассмотрим конечную сумму ряда, состоящего из 2m членов

S_2m= (a₁- a₂) + (a₃- a₄) + ... + (a_2m-1- a_2m).

На основании условия теоремы слагаемые в скобках положительны или равны нулю, значит, S_2m³0.

Если число членов 2m возрастает, то S_2m - не убывает, так как каждый раз добавляются неотрицательные члены. Теперь представим, что

S_{2m =}a₁- (a₂- a₃) - (a₄- а₅) - ... - a_2m.

Но тогда S_2m£ a₁, и тогда - монотонно неубывающая последовательность и, будучи ограниченной последовательностью, она стремится к некоторому пределу

Также очевидно, что

S_2m+1= S_2m+ a_2m+1,

но по условию теоремы

и тогда имеем, что

Получили, что последовательность частных сумм при n ® ¥ стремится к одному и тому же пределу S, но тогда ряд по определению сходится.

З а м е ч а н и е. Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакопеременного ряда в условиях теоремы по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена.

Пример.

- сходится, так как выполняются условия теоремы (6.1).

2. Понятие о функциональных рядах

2.1. Степенные ряды

Ряд вида

, (1.1)

составленный по возрастанию целых степеней переменной х с коэффициентами

а₀, а₁, а₂..., не зависящими от х, называется степенным рядом.

Степенной ряд вида

а₀+ а₁×(х - а) + а₂×(х - а)²+ ... + а_n×(х - а)ⁿ+ ...,

где а - константа, легко сводится к (1.1), если положить х – а = х^/.

Поэтому проведем все рассуждения относительно (1.1). Если зафиксируем х в (1.1), то будем получать числовые ряды, которые в зависимости от значения х будут сходиться или расходиться.

Теорема 1.1. Для любого степенного ряда вида (1.1) существует число R ³ 0 (радиус сходимости) такое, что если R > 0, то при ряд сходится, а при - ряд расходится. При ряд может как сходиться, так и расходиться.

(Без доказательства).

Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Если R = +¥, следовательно, интервал сходимости - числовая прямая.

В простейших случаях интервал сходимости может быть определен с помощью признака Даламбера.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин

Если этот ряд сходится, то будет сходиться и ряд (1.1), причем абсолютно сходиться.

Воспользуемся признаком Даламбера. Пусть

, а

Рассмотрим отношение

Предположим, что существует

Тогда

. (1.2)

Из (1.2) получаем условие сходимости.

1. Если , следовательно, .

Отсюда ряд S^* сходится, следовательно, и ряд (1.1) сходится абсолютно.

2. , следовательно, , следовательно, оба ряда расходятся.

Но тогда

есть радиус сходимости, то есть

. (1.3)

Вопрос о сходимости на концах интервала х = -R и x = R нужно решать особо.

Пример. Исследовать ряд

Определим радиус сходимости в силу (7.3) имеем

Таким образом ряд сходится для каждого х, принадлежащего интервалу (-1,1).

При х = -1 - ряд сходится условно.

При х = 1 имеем ряд гармонический, он расходится.

Таким образом, областью сходимости данного ряда является [-1,1).

2.2. Разложение данной функции в ряд

Умение представить данную функцию в виде степенного ряда дает возможность на практике вычислять значение этой функции с любой степенью точности. Рассмотрим это на примерах.

это геометрическая прогрессия. При ряд сходится. Сумма ряда .

Следовательно, мы можем записать

. (2.1)

То есть разложена в ряд по степеням х.

2. f(x) = ln(1 + x).

Для разложения заменим х на -z. Тогда будем иметь в (8.1)

. (2.2)

Если , то можно показать, что в интервале сходимости f(z) дифференцируема или интегрируемая почленно. Умножая (2.2) на dz и интегрируя в пределах от 0 до х, получим

то есть

Окончательно

, (x < 1).

Самостоятельно: справедливо ли это разложение при х=1 ?

Пример:

3. f(x) = arctgx.

Пусть x = -z² в разложении (2.1).

Тогда

, .

Получим

Так как arctg0 = 0, окончательно имеем

Доказать, что разложение верно при х = 1 и х = -1.

Пример.

Вычислить

2.3. Ряд Маклорена

Решим теперь общий вопрос о разложении данной функции f(x) в ряд по возрастающим целым степеням х.

Пусть, например, f(x) представима в виде ряда

. (3.1)

Следовательно, необходимо определить коэффициенты а₀,а₁,а₂,...; причем интервал сходимости не сводится к точке, то есть R>0.

Учтем то, что степенной ряд (3.1) в интервале сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз и все полученные таким образом ряды тоже будут сходиться, а их суммы равны соответствующим производным.

Продифференцируем последовательно ряд (3.1):

f^/(x) = a₁+ 2×a₂×x + 3×a₃×x²+ ...

f^//(x) = 2×a₂+ 2×3×a₃×x + 3×4×a₄×x²+ ...

f^///(x) = 2×3×a₃+ 2×3×4×a₄×x + 3×4×5×a₅×x²+ ...

f^IV(x) = 2×3×4×a₄+ 2×3×4×5×a₅×x + ...

........................................................................

Положим теперь в этих равенствах и в (3.1) х = 0; тогда получим, что

f(0) = a₀; f^/(0) = a₁; f^//(0) = 2×a₂; f^///(0) = 2×3×a₃; f^IV(0) = 2×3×4×a₄; ...

То есть а₀= f(0); ; ; ; ; ...

Подставляя эти значения в (3.1), получим ряд Маклорена:

. (3.2)

Пример.

1. f(x) = e^x.

Так как f^(к)(x) = e^xдля любого к. Пологая х = 0 , получим f^(к)(0) = e⁰ = 1.

Тогда ряд Маклорена имеет вид

Исследуем ряд на сходимость.

, следовательно, применяя признак Даламбера,

, следовательно, ряд сходится для каждого х, принадлежащего .

2. f(x) = Sinx.

f^/(x) = Cosx; f^//(x) = -Sinx; f^///(x) = -Cosx...

При х=0 имеем

f(0) = 0; f^/(0) = 1; f^//(0) = 0; f^///(0) = -1.

Отсюда

3. f(x) = Cosx (Самостоятельно).

4. f(x) = (1+x)^m, m - целое, дробное, положительное или отрицательное.

5. Вычислить Sin1, .

6. . (, f(0)=1).

2.4. Ряд Тейлора

Мы знаем, что в некоторых случаях f(x) или ее производная неопределенны при х = 0: так, например, ведут себя функции f(x) = ln(x), , для которых или . Следовательно, такие функции не могут быть разложены в ряд Маклорена. Тогда нужно воспользоваться более общими степенными рядами.