AnGeom

Справка 2. Общее уравнение кривой второго порядка

Уравнение второй степени относительно x и y

(2.10.1)

называется общим уравнением линии второго порядка.

Применив преобразование координат (что соответствует повороту осей координат на угол )

(2. 10.2)

в уравнении (2.10.1) можно освободиться от члена с произведением координат, и общее уравнение примет вид

. (2.10.3)

Уравнение (2.10.3)определяет на плоскости xOy эллипс, гиперболу или параболу:

1. - эллипс,

2. - гипербола,

3. - парабола.

2.11. Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от ее центра.

Пусть точка - центр окружности. Расстояние любой точки окружности до центра обозначим через - радиус окружности (Рис. 2.11.1). Пусть текущая точка окружности. Из определения окружности следует, что расстояние от точки до центра окружности будет равно радиусу этой окружности. Используя формулу для расстояния между двумя точками, получим каноническое уравнение окружности

. (2.11.1)

Этому уравнению будут удовлетворять координаты точек, лежащих на окружности. Уравнение (2.11.1) называется нормальным уравнением окружности.

Если центр окружности лежит в начале координат, то есть , то уравнение (2.11.1) принимает вид:

(2.11.2)

Этот простейший вид уравнения окружности называется каноническим.

Рис. 2.11.1.

Составить уравнение окружности, проходящей через точку , если центр окружности совпадает с точкой .

Поскольку окружность проходит через точку , координаты этой точки удовлетворяют уравнению , то есть , откуда , тогда уравнение окружности принимает вид .

Найти те касательные к окружности , которые параллельны прямой .

Искомые прямые параллельны данной прямой и перпендикулярны диаметру данной окружности в точках касания. Составим уравнение диаметра: (центр окружности совпадает с началом координат). Учитывая, что диаметр и данная прямая перпендикулярны. Находим угловой коэффициент диаметра. Он равен . Тогда уравнение диаметра имеет вид . Для того, чтобы составить уравнение касательных, необходимо найти координаты точек касания.

Решив совместно систему уравнений , находим две точки касания, лежащие на противоположных концах диаметра:, . Угловой коэффициент искомых касательных равен . Тогда с помощью уравнения прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом можно найти уравнения касательных: и .

2.12. Эллипс. Эксцентриситет и директрисы эллипса

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости и , называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через . Расстояние между фокусами - .

Если фокусы эллипса совпадают, то он представляет собой окружность.

Расположим эллипс так, чтобы его фокусы лежали на оси абсцисс симметрично относительно оси ординат, то есть (Рис. 2.12.1). Пусть текущая точка эллипса. В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид:

, (2.12.1)

где - большая, - малая полуоси эллипса, . Центр симметрии эллипса, определяемого уравнением (2.12.1), совпадает с началом координат. Уравнение вида (2.12.1) называется каноническим уравнением эллипса. Это уравнение второй степени, следовательно, эллипс – кривая второго порядка.

Рис. 2.12.1.

Эксцентриситетом эллипса называется число , равное отношению фокусного расстояния к большой полуоси эллипса. Для эллипса - (для окружности - ). Отрезки и называются фокальными радиусами точки М и могут быть вычислены по формулам и . Если эллипс определен уравнением (2.12.1) и , то прямые называются директрисами эллипса (если , то директрисы определяются уравнениями ).

Если центр эллипса перенесен в точку , то его каноническое уравнение принимает вид

Дано уравнение эллипса . Вычислить длину осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса.

Разделим обе части уравнения на 4225: . Сравнивая полученное уравнение с выражением (3.2.1), заключаем, что , то есть , то есть . Тогда , а .

Прямые служат директрисами эллипса, малая ось которого равна . Составить уравнение этого эллипса.

Малая полуось эллипса . Чтобы составить уравнение эллипса нужно знать большую полуось. Имеем: , . Следовательно, . Так как , то . Учитывая, что , получим, что величина удовлетворяет уравнению . Откуда , следовательно . Искомое уравнение принимает вид .

2.13. Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек плоскости и , называемых фокусами, есть величина постоянная, равная .

Расстояние между фокусами - .

Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат (Рис. 2.13.1), то каноническое уравнение гиперболы имеет вид

(2.13.1)

где . Уравнение вида (2.13.1) называется каноническим уравнением гиперболы. При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат – ее центром симметрии. Ось называется

Рис. 2.13.1.

действительной осью, а - мнимой осью гиперболы. Точки пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы.

Прямоугольник со сторонами и , расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженные) являются асимптотами гиперболы и определяются уравнениями

, . (2.13.2)

Эксцентриситетом гиперболы (как и эллипса) называется число , где - расстояние от центра гиперболы до ее вершины. Очевидно, что для любой гиперболы .

Если - произвольная точка гиперболы, то отрезки и называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы правой ветви гиперболы могут быть вычислены по формулам и . Фокальные радиусы левой ветви гиперболы – по формулам и .

Если гипербола задана уравнением (2.13.1), то прямые, определяемые уравнениями , называются ее директрисами.

Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если точка лежит на гиперболе и известны уравнения асимптот .

Из уравнений для асимптот находим , или . Поскольку точка принадлежит гиперболе, ее координаты удовлетворяют уравнению (2.13.1): , где или . Отсюда находим , тогда , следовательно, уравнение гиперболы имеет вид .

Дана гипербола . Найти ее полуоси и , фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот.

Разделим обе части этого уравнения на 144. Получим . Значит , следовательно оси гиперболы соответственно равны и . Так как , то фокусы гиперболы находятся в точках и . Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле . В соответствии с (2.13.2), уравнения асимптот имеют вид: .

2.14. Парабола, ее директриса

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости , называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой.

Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно директрисе и была направлена от директрисы к фокусу. Начало координат расположим посредине между фокусом и директрисой (Рис. 2.14.1). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением:

, (2.14.1)

где - расстояние от фокуса до директрисы (параметр параболы). Уравнение (2.14.1) есть каноническое уравнение параболы.

Рис. 2.14.1

Директриса данной параболы определяется уравнением . Фокальный радиус произвольной точки параболы может быть вычислен по формуле

. (2.14.2)

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка, в которой парабола пересекается с осью симметрии, называется вершиной параболы. При указанном выше выборе системы координат ось параболы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, а вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Если вершину параболы (2.14.1) перенести в точку , то ее каноническое уравнение примет вид .

Найти фокус и уравнение директрисы параболы .

Параметр данной параболы . Поскольку расстояние от фокуса до директрисы равно , то фокус имеет координаты , а уравнение директрисы , то есть .

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке .

Поскольку фокус параболы лежит на оси ординат, а ее вершина - в начале координат, то уравнение параболы можно записать в виде . Так как ордината фокуса отрицательна, то уравнение параболы следует искать в виде .

Фокусное расстояние , откуда . Следовательно, уравнение параболы имеет вид .