Модуль №1. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Рекомендации

к самопроверке изученного материала

После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, формулировки и доказательства теорем, проверяя себя каждый раз по учебнику.

В случае необходимости надо еще раз внимательно разобраться в материале учебника и решить задачи. Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дельнейшего материала. В этом случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.

Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предостеречь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благополучное решение задач воспринимается им как признак усвоения теории. Иногда правильное решение задачи получается в результате применения механически заученных формул без понимания сущности теоретических положений.

Перед началом изучения курса освежите в памяти: Основы теории множеств

Темы:

1.1. Прямоугольные координаты точки на плоскости

1.1.2. Расстояние между двумя точками на плоскости

1.1.3. Линия как множество точек

1.1.4. Прямые в R²

1.1.4.1. Взаимное расположение двух прямых в R²

1.2. Линии второго порядка

1.2.1. Окружность

1.2.2. Центральные кривые второго порядка

1.2.3. Кривые эллиптического и гиперболического типа

1.2.4. Фокальные свойства центральных кривых второго порядка

1.2.5. Асимптоты гиперболы

1.2.6. Нецентральные кривые второго порядка

1.2.7. Фокальное свойство параболы

Вопросы для самопроверки:

· Как определяются, декартовы координаты точки на плоскости?

· Чем отличаются друг от друга декартовы координаты двух точек, симметричных относительно: а) оси Ох; б) оси Оу; в) начала координат?

· Напишите формулы преобразования координат:

а) при параллельном переносе системы координат;

б) при повороте системы координат.

· Какой вид примет формула, по которой определяется расстояние между двумя точками, если:

а) точки имеют одинаковые ординаты, но различные абсциссы;

б) точки имеют одинаковые абсциссы, но различные ординаты;

в) одна из точек совпадает с началом координат?

· Напишите формулы, выражающие координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, через координаты его концов.

· Напишите формулы, выражающие координаты:

а) середины отрезка через координаты его концов;

б) центра тяжести треугольника через координаты его вершин.

· Напишите формулу, выражающую площадь треугольника через координаты его вершин.

· Что называется уравнением линии? Приведите примеры.

· Как убедиться, что данная точка лежит на данной линии?

· Как найти точку пересечения двух линий, заданных своими уравнениями?

· Что называется порядком алгебраической линии?

· Каков характерный признак, отличающий уравнение прямой в декартовой системе координат от уравнений других линий?

· Как расположена прямая относительно декартовой системы координат, если в ее уравнении отсутствует: а) свободный член; б) одна из координат; в) одна из координат и свободный член?

· Как вычислить угол между двумя прямыми? Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямых?

· Как можно найти угловой коэффициент прямой, если известно ее общее уравнение? Можно ли найти угловой коэффициент прямой, не составляя ее уравнения, если известны две ее точки? Если да, то как это сделать?

· Напишите уравнение прямой, проходящей: а) через данную точку в данном направлении; б) через две данные точки.

· Как найти расстояние от данной точки до прямой линии, заданной уравнением общего вида?

· Напишите уравнения осей декартовой системы координат.

· Выполните задание. Пусть вершины треугольника А(2; -2), В(-4; 1), С(-1; 2).

Сделать чертеж и найти:

1) периметр треугольника;

2) уравнение высоты, проведенной через вершину С;

3) уравнение прямой ЕС, проходящей через точку С и

параллельной прямой АВ;

4) уравнение медианы СМ, проведенной через вершину С;

5) угол, который медиана ВМ₁, проведенная через вершину В,

образует со стороной ВС;

6) координаты точки К - пересечения медиан треугольника;

7) площадь треугольника АВС;

8) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Решение.

· По какому признаку можно определить, является ли данное уравнение второго порядка уравнением окружности в декартовой системе координат? Как в этом случае можно найти ее центр и радиус?

· Пример. Составить уравнение окружности, проходящей через точку  , если центр окружности совпадает с точкой  . Решение.

· Сформулируйте определения эллипса, гиперболы и параболы. Каковы канонические уравнения этих линий и при каком расположении осей координат имеют место эти уравнения?

· Практическое занятие (с фрагментами теории).

• Пример. Дано уравнение эллипса  . Вычислить длину осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса. Решение.

· Пример. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если точка лежит на гиперболе и известны уравнения асимптот . Решение.

• Пример. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке . Решение.
• Что называется эксцентриситетом эллипса и гиперболы и какие значения он может иметь для каждой из этих линий?

Внимание ! Правильно выбери свой вариант, например, если Ваш № зачетной книжки заканчивается цифрами ….51, то Ваш вариат 21.

Индивидуальные задания