Модуль №2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Рекомендации

к самопроверке изученного материала

 

После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, формулировки и доказательства теорем, проверяя себя каждый раз по учебнику.

В случае необходимости надо еще раз внимательно разобраться в материале учебника и решить задачи. Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дельнейшего материала. В этом случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.

         Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предостеречь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благополучное решение задач воспринимается им как признак усвоения теории. Иногда правильное решение задачи получается в результате применения механически заученных формул без понимания сущности теоретических положений.

Темы:

2.1. Сходимость в пространстве  Rn

   2.1.1. Окрестности и пределы последовательностей точек

   2.1.2. Основные теоремы для последовательностей

   2.1.3. Сходимость последовательностей в пространстве

   2.1.3.1. Различные типы множеств

 

2.2. Функция

   2.2.1. Понятие функции

   2.2.2. Способы задания функций

   2.2.3. Понятие функции нескольких переменных

   2.2.4. Неявные функции

   2.2.5. Сложные функции

   2.2.6. Элементарные функции и их классификация

   2.2.7.Трансцендентные функции

 

2.3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

   2.3.1. Определение предела функции

   2.3.2. Односторонние пределы функции

   2.3.3. Свойства пределов функции

   2.3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

 

2.4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

   2.4.1. Точки непрерывности и точки разрыва функции

   2.4.2. Основные теоремы о непрерывных функциях

Вопросы для самопроверки:

Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал, поэтому обратите внимание на практические задания.

·        Сформулируйте    определение   понятия   функции.    Что   называется   областью определения функции? Приведите примеры.

·        Какие   способы   задания    функциональной   зависимости   Вы   знаете? Приведите примеры.

·        Какие функции, называются элементарными? Приведите примеры.

·        Сформулируйте определение понятия предела функции.

·        В каком случае функция называется бесконечно малой?

·        В каком случае функция называется бесконечно большой?

·        Сформулируйте и докажите основные свойства о бесконечно малых.

·        Сформулируйте и докажите основные теоремы о пределах.

·        Чему   равен   предел   отношения   синуса   к   аргументу  при стремлении аргумента к нулю?

·        Как определяется число е?

·        Что называется натуральным логарифмом?

·        Что называется приращением аргумента и функции?

·        Сформулируйте   определение   непрерывности   функции   в   точке   и на данном множестве X.

·        Сформулируйте основные теоремы о непрерывных функциях.

 

2.5.  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ  ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

   2.5.1. Производная функции в точке

 

2.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

 

2.7.   ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ И  ДИФФЕРЕНЦИАЛА

 

2.8.  ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ  Функций

   2.8.1 Производная обратной функции

   2.8.2.  Производная и дифференциал сложной функции

 

2.9.  ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ  ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

 

2.10. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

   2.10.1. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

   2.10.2. Возрастание и убывание функции одной переменной

   2.10.3. Понятие о правиле Лопиталя

 

2.11. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

   2.11.1. Вывод формулы Тейлора для многочлена

   2.11.2. Бином Ньютона

   2.11.3. Формула Тейлора для функции

   2.11.4. Экстремум функции одной переменной

 

2.12. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ

   2.12.1. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

   2.12.2. Асимптоты

   2.12.3. Построение графиков

Вопросы для самопроверки:

Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал, поэтому обратите внимание на практические задания.

 

·        Сформулируйте определение производной. Найдите производную   функции , пользуясь только определением   производной.

·        Каков геометрический смысл производной?

·        Что называется касательной к кривой? Как составить уравнение   касательной к графику функции у = f (х)?

·        Каков физический смысл первой и второй производной?

·        Может    ли    функция    иметь   производную    в   точке,   в    которой    она разрывная?

·        Функция в данной точке   дифференцируема.   Следует   ли   отсюда,   что она непрерывна в этой точке?

·        Сформулируйте общие правила дифференцирования функций   и   напишите формулы дифференцирования основных элементарных функций.

·        Как найти производную неявной функции?

·        Что называется дифференциалом функции и   дифференциалом  независимой переменной?

·        Каков геометрический смысл дифференциала функции?

·        Чем отличается дифференциал функции от ее приращения?

·        Как формулируется теорема Ролля? Каков ее геометрический смысл?

·        Как формулируется теорема Лагранжа? Каков ее геометрический смысл?

·        В   чем   заключается   правило Лопиталя? Перечислите  различные  типы неопределенностей, для раскрытия которых может быть использовано правила Лопиталя. Приведите примеры. Практическое занятие.

·        Каковы признаки возрастания и убывания функции? Практическое занятие 1.

·        Покажите, что  функция  у = ех  возрастает,  а  функция   у = sin х – х убывает в любом промежутке.

·        Что называется экстремумом функции? Как найти максимумы  и минимумы функции? Сформулируйте два правила.

·        Приведите пример, показывающий, что обращение производной в нуль не является достаточным условием экстремума функции.

·        Покажите, что если для функции   у = ах3 + bх2 + сх + d   выполняется условие Зac > b2 (при любом d), то она не имеет экстремума.

·        Как находятся интервалы выпуклости н вогнутости   и   точки   перегиба кривой, заданной уравнением у = f(x). Приведите примеры. Практическое занятие 2.

 

 

2.13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

   2.13.1. Частные производные первого порядка

   2.13.2. Геометрический смысл частных производных

   2.13.3. Полный дифференциал функции

 

2.14. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПО ДАННОМУ

       НАПРАВЛЕНИЮ

   2.14.1. Производная по  направлению

   2.14.2. Градиент и его свойства

   2.14.3. Частные производные высших порядков

   2.14.4. Признак полного дифференциала

 

2.15. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

   2.15.1. Максимум и минимум функции нескольких переменных

   2.15.2. Абсолютный экстремум

   2.15.3. Метод наименьших квадратов

 

Вопросы для самопроверки:

·        Сформулируйте определения функции двух и трех переменных.

·        Что называется областью   определения   функции   нескольких   переменных? Каковы ее геометрические изображения в случае двух и трех переменных?

·        Как можно изобразить геометрическую функцию двух переменных?

·        Что называется линией и поверхностью уровня?

·        Как  определяются   понятия   предела   и   непрерывности   функции двух переменных?

·        Сформулируйте определения частных производных. Каков их   геометрический смысл в случае функции двух переменных?

·        Что   называется   полным   приращением   и   полным   дифференциалом функции нескольких переменных?

·        Как определяется экстремум функции двух переменных?

·        Каковы необходимые условия экстремума функции   двух   переменных?

·        В чем состоит способ наименьших квадратов построения эмпирических формул?

Повторим теорию

 

Индивидуальные задания

Внимание !  Правильно выбери свой вариант, например, если Ваш № зачетной книжки заканчивается цифрами ….51, то Ваш вариат 21.