Вариант №2

Индивидуальные задания:

Модуль №1 Модуль №2 Модуль №3 Модуль №4

Модуль №5 Модуль №6 Модуль №7 Модуль №8

М1. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Индивидуальные задания к модулю №1:

 

Задание 1. Даны вершины треугольника А(1,3),  В(-4,3),  С(4,4).

                  Сделать чертеж и найти:

1)     периметр треугольника;

2)     уравнение высоты, проведенной через вершину A;

3)     уравнение прямой ЕС, проходящей через точку A и параллельной прямой ВC;

4)     уравнение медианы AМ, проведенной через вершину A;

5) угол, который медиана ВМ1, проведенная через вершину В, образует со стороной ВС;

6)     координаты точки К - пересечения биссектрис треугольника;

7)     площадь треугольника АВС;

8)     систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

 

Задание 2.

 Построить кривую, если известно, что ее эксцентриситет равен 0,5 и с = .

 

 

М2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ  ИСЧИСЛЕНИЕ

Индивидуальные задания к модулю №2

 

Задание 3.  Найти пределы функций не используя правило Лопиталя:

 

 

Задание 4. Найти производные заданных функций:

 

 

Задание 5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

 

Задание 6. Вычислить приближенное значение , заменив в в точке х = х0 приращение функции дифференциалом, если n = 7, a = 156,  х0 = 128.

 

Задание 7. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y = f(x) и построить ее график.

.

Задание 8. Найти экстремум функции двух переменных z = f(x,y):

 

z = x3- 5xy + 2y2 + 2y

 

Задание 9. Выполнить лабораторную работу №1.

Цель работы: Нахождение параметров приближенной зависимости между величинами методом наименьших квадратов. (См.Лр.№1)

Xi

1,2

1,6

2

2,4

2,8

3,2

3,6

4

Yi

20

19

24

28

30

43

51

80

 

М3. Интегральное исчисление

Индивидуальные задания к модулю №3

 

Задание 10. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

a)

b). Проинтегрировать по частям:

Задание 11. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл:

 

 Задание 12. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = ax2 + px + q и прямой y = kx + b:

y = x2 + 5x +6;   y = x + 3.

 

Задание 13. Выполнить лабораторную работу №2.

Цель работы: Освоение методов численного интегрирования.

 

З а д а н и е:

1. Вычислить  приближенно, используя методы 2,3,4 по обобщенным

    формулам (5), (7), (9) с абсолютной точностью çR(f)ç £ 0,01.

2. Полученные результаты сравнить и сделать выводы.

    Используйте ЭВМ (например, Excel).

3. Постройте графики подынтегральных функций y = f(x).

 

М4. Дифференциальные уравнения

Индивидуальные задания к модулю №4

 

Задание 14. Найти общее решение дифференциального уравнения a(x)y' + b(x)y = f(x) и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0.

x0 = 1

y0 = 2

x0 = 0

 

Задание 15. Найти общее решение дифференциального уравнения ay" + by' + qy = f(x)  и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0, y' = y'0 при x = x0.

 

1.  ,

,

2.  ,

,

 

3.

 

М5. Ряды  и  понятие о сходимости рядов

Индивидуальные задания к модулю №5

 

Задание 16. Выполнить лабораторную работу №3.

Цель работы: Исследование рядов на сходимость. Вычисления суммы ряда.

a). Исследовать на сходимость ряды:

 

 

 

 

b). Найти область сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала:

Задание 17.

a). Разложить по степеням x в ряд y = f(x). Указать интервал сходимости.

b). Разложить в ряд Маклорена или Тейлора функцию y = f(x) в окрестности х0:

 х0 = -2.

 

М6. Линейная алгебра

Индивидуальные задания к модулю №6

 

Задание 18. Выполнить лабораторную работу №4.

Цель работы: Использование теории матриц и определителей для решения задач линейной алгебры.

З а д а н и е.    1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

2. Проверить, что векторы

 образуют базис в R3, найти координаты вектора b в этом базисе. (Систему

 решать матричным методом или методом Крамера).

 

М7. Элементы векторной алгебры

Индивидуальные задания к модулю №7

 

Задание 19. Даны точки A, B, C, D. Положим а = , b =.

A(-1,-5,3)

B(2,-6,0)

C(0,3,1)

D(3,7,2)

 

Найти:

1) векторы 2а+b и а-2b;
2) модули векторов |2а+b| и |а-2b|;
3) скалярное произведение (2а+b)×(a-2b);
4) векторное произведение [(2а+b),(a-2b)];
5) угол между векторами (2а+b)×и (a-2b).

 

М8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ пространства

Индивидуальные задания к модулю №8

 

Задание 20. Даны четыре точки A, B, C и D:

A(2,2,-1)

B(0,0,0)

C(0,-4,0)

D(2,0,0)

1). Составить уравнение плоскости, проходящей

  • через точку A и имеющей нормальный вектор ;

  • через точки A, B, C.

2). Вычислить расстояние от точки D до плоскости, проходящей через точки A, B, C.

3). Составить канонические и параметрические уравнения прямых, проходящих через точки A и C, а также B и D.

4). Будут ли эти прямые перпендикулярны? Параллельны?