Вариант №3
Вариант №3
М1. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Индивидуальные задания к модулю №1:
Задание 1. Даны вершины треугольника А(5; -3), В(-2; 3), С(2; 4).
Сделать чертеж и найти:
1) периметр треугольника;
2) уравнение высоты, проведенной через вершину B;
3) уравнение прямой ЕА, проходящей через точку А и параллельной прямой СВ;
4) уравнение медианы СМ, проведенной через вершину С;
5) угол, который медиана ВМ1, проведенная через вершину В, образует со стороной ВС;
6) координаты точки К - пересечения высот треугольника;
7) площадь треугольника АВС;
8) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Задание 2.
Определить каноническое уравнение кривой, если c =6, и ее асимптота y = 3x/4. Построить кривую.
М2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Индивидуальные задания к модулю №2
Задание 3. Найти пределы функций:
Задание 4. Найти производные заданных функций:
у = x5 |
 |
у = ln(1 + cos-12x) + e5x |
 |
 |
Задание 5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:
Задание
6.
Вычислить приближенное значение 
,
заменив в в точке х = х0
приращение функции 
дифференциалом.
a = 267, n = 4, х0
= 256.
Задание 7. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y = f(x) и построить ее график.
Задание 8. Найти экстремум функции двух переменных z = f(x,y):
z = (x - 2)2 + y2 - y + 7.
Задание 9. Выполнить лабораторную работу №1.
Цель работы: Нахождение параметров приближенной зависимости между величинами методом наименьших квадратов.
Xi
4
12
17
20
30
35
43
51
56
60
Yi
10
24,3
38,6
53
65
80
90
109
120
140
Индивидуальные задания к модулю №3
Задание 10. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
a).
б). Проинтегрировать по частям:
Задание 11. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл:
Задание 12. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = ax2 + px + q и прямой y = kx + b:
|
y = -x2 +2x + 2 |
y = -x -2 |
Задание 13. Выполнить лабораторную работу №2.
Цель работы: Освоение методов численного интегрирования.
З а д а н и е:
1. Вычислить
приближенно,
используя методы 2,3,4 по обобщенным
формулам (5), (7), (9) с абсолютной точностью çR(f)ç £ 0,01.
2. Полученные результаты сравнить и сделать выводы.
Используйте ЭВМ (например, Excel).
3. Постройте графики подынтегральных функций y = f(x).
М4. Дифференциальные уравнения
Индивидуальные задания к модулю №4
Задание 14. Найти общее решение дифференциального уравнения a(x)y' + b(x)y = f(x) и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0.
|
|
y0 = 3 |
x0 =
|
 |
 |
x0 = 1 |
Задание 15. Найти общее решение дифференциального уравнения ay" + by' + qy = f(x) и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0, y' = y'0 при x = x0.
|
1.
|
2. |
3.
.
М5. Ряды и понятие о сходимости рядов
Индивидуальные задания к модулю №5
Задание 16. Выполнить лабораторную работу №3.
Цель работы: Исследование рядов на сходимость. Вычисления суммы ряда.
a). Исследовать на сходимость ряды:
|
|
|
Покажите, что если вкладчик сделает вклад 2401831,24 гр. под 12% гарантированных годовых, то в результате финансовых операций он сможет получать ежегодно в конце каждого из 3-х лет 1000000 гр.
b). Найти область сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала:
Задание 17.
a). Разложить по степеням x в ряд y = f(x). Указать интервал сходимости.
b). Разложить в ряд Маклорена или Тейлора функцию y = f(x) в окрестности х0:
х0
= -1.
М6. Линейная алгебра
Индивидуальные задания к модулю №6
Задание 18. Выполнить лабораторную работу №4.
Цель работы: Использование теории матриц и определителей для решения задач линейной алгебры.
З а д а н и е. 1. Решить систему линейных уравнений матричным методом :
2. Проверить, что векторы
образуют базис в R3, найти координаты вектора b в этом базисе. (Систему
решать методом Крамера или методом Гаусса).
М7. Элементы векторной алгебры
Индивидуальные задания к модулю №7
Задание
19.
Даны точки A, B, C, D. Положим а = 
, b =
.
|
A(5,2,-7) |
B(4,1,7) |
C(5,-3,6) |
D(1,-5,7) |
Найти:
1) векторы 2а+b и а-2b;
2) модули векторов |2а+b| и |а-2b|;
3) скалярное произведение (2а+b)×(a-2b);
4) векторное произведение [(2а+b),(a-2b)];
5) угол между векторами (2а+b)×и (a-2b).
М8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ пространства
Индивидуальные задания к модулю №8
Задание 20. Даны четыре точки A, B, C и D:
|
A(-3,2,4) |
B(-3,-3,4) |
C(0,-3,4) |
D(-1,-1,4) |
1). Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку A и имеющей нормальный вектор
;
- через точки A, B, C.
2). Вычислить расстояние от точки D до плоскости, проходящей через точки A, B, C.
3). Составить канонические и параметрические уравнения прямых, проходящих через точки A и C, а также B и D.
4). Будут ли эти прямые перпендикулярны? Параллельны?
