Вариант №5

Индивидуальные задания:

Модуль №1 Модуль №2 Модуль №3 Модуль №4

Модуль №5 Модуль №6 Модуль №7 Модуль №8

М1. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Индивидуальные задания к модулю №1:

 

Задание 1. Даны вершины треугольника А(-1; 4), В(3; 5), С(2; -4).

                  Сделать чертеж и найти:

1)     периметр треугольника;

2)     уравнение высоты, проведенной через вершину С;

3)     уравнение прямой ЕA, проходящей через точку A и параллельной прямой CВ;

4)     уравнение медианы BМ, проведенной через вершину B;

5)     угол, который медиана CМ1, проведенная через вершину C, образует со стороной AВ;

6)     координаты точки К - пересечения медиан треугольника;

7)     площадь треугольника АВС;

8)     систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

 

Задание 2. Построить кривые второго порядка, если  c = 6 и ее асимптота y = - x.

 Определить каноническое уравнение кривой.

 

М2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Индивидуальные задания к модулю №2

 

Задание 3.  Найти пределы функций не используя правило Лопиталя:

 

 

Задание 4. Найти производные заданных функций:

 

y = (2 + x)

у = ln3

 

Задание 5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

 

 

Задание 6. Вычислить приближенное значение , заменив в в точке х = х0 приращение    функции дифференциалом. n = 6, a = 685, х0 = 729.

 

Задание 7. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y = f(x) и построить ее график.

.

Задание 8. Найти экстремум функции двух переменных z = f(x,y):

z = x3 + 2xy + 2y2 + 10y

Задание 9. Выполнить лабораторную работу №1.

Цель работы: Нахождение параметров приближенной зависимости между величинами методом наименьших квадратов.

Xi

 0,5 2 3,5 5,5 7 8 10 11 12,5 14

Yi

 9 7 6 5 4 2 1,5 0 -1,5 -3

 

М3. Интегральное исчисление

Индивидуальные задания к модулю №3

 

Задание 10. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

                    a)

 

b).  Проинтегрировать по частям:

 

 

Задание 11. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл:

Задание 12. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = ax2 + px + q и прямой y = kx + b:

 

y = -x2 - 6x + 7

y = -x - 1

 

Задание 13. Выполнить лабораторную работу №2.

Цель работы: Освоение методов численного интегрирования.

З а д а н и е:

1. Вычислить  приближенно, используя методы 2,3,4 по обобщенным

    формулам (5), (7), (9) с абсолютной точностью çR(f)ç £ 0,01.

2. Полученные результаты сравнить и сделать выводы.

    Используйте ЭВМ (например, Excel).

3. Постройте графики подынтегральных функций y = f(x).

 

 

 

М4. Дифференциальные уравнения

Индивидуальные задания к модулю №4

 

Задание 14. Найти общее решение дифференциального уравнения a(x)y' + b(x)y = f(x) и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0.

,

,

 

Задание 15. Найти общее решение дифференциального уравнения ay" + by' + qy = f(x)  и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0, y' = y'0 при x = x0.

1.              ,

 ,

2.              ,

,

3.

 

 

М5. Ряды  и  понятие о сходимости рядов

Индивидуальные задания к модулю №5

 

Задание 16. Выполнить лабораторную работу №3.

Цель работы: Исследование рядов на сходимость. Вычисления суммы ряда.

a). Исследовать на сходимость ряды:

 

 

b). Найти область сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала:

 

Задание 17.

a). Разложить по степеням x в ряд y = f(x). Указать интервал сходимости.

b). Разложить в ряд Маклорена или Тейлора функцию y = f(x) в окрестности х0:

 х0 = 1.

М6. Линейная алгебра

Индивидуальные задания к модулю №6

 

Задание 18. Выполнить лабораторную работу №4.

Цель работы: Использование теории матриц и определителей для решения задач линейной алгебры.

З а д а н и е.    1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

2. Проверить, что векторы

 образуют базис в R3, найти координаты вектора b в этом базисе. (Систему

 решать матричным методом или методом Крамера).

 

М7. Элементы векторной алгебры

Индивидуальные задания к модулю №7

 

Задание 19. Даны точки A, B, C, D. Положим а = , b =.

A(0,3,-2)

B(4,1,3)

C(-1,1-1)

D(3,2,4)

 

Найти:

1) векторы 2а+b и а-2b;
2) модули векторов |2а+b| и |а-2b|;
3) скалярное произведение (2а+b)×(a-2b);
4) векторное произведение [(2а+b),(a-2b)];
5) угол между векторами (2а+b)×и (a-2b).

 

М8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ пространства

Индивидуальные задания к модулю №8

 

Задание 20. Даны четыре точки A, B, C и D:

A(-5,-2,0)

B(-3,-3,1)

C(0,5,0)

D(9,6,1)

1). Составить уравнение плоскости, проходящей

  • через точку A и имеющей нормальный вектор ;

  • через точки A, B, C.

2). Вычислить расстояние от точки D до плоскости, проходящей через точки A, B, C.

3). Составить канонические и параметрические уравнения прямых, проходящих через точки A и C, а также B и D.

4). Будут ли эти прямые перпендикулярны? Параллельны?