Вариант №6
Вариант №6
М1. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Индивидуальные задания к модулю №1:
Задание 1. Даны вершины треугольника А(1;4), В(3;5), С(2; 3).
Сделать чертеж и найти:
1) периметр треугольника;
2) уравнение высоты, проведенной через вершину B;
3) уравнение прямой ЕС, проходящей через точку С и параллельной прямой АВ;
4) уравнение медианы СМ, проведенной через вершину С;
5) угол, который медиана ВМ1, проведенная через вершину В, образует со стороной ВС;
6) координаты точки К - пересечения биссектрис треугольника;
7) площадь треугольника АВС;
8) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Задание 2.
Написать каноническое уравнение гиперболы, если а = 6, а ее фокусы находятся в точках (-9; 0) и (9; 0). Построить кривую. Найти ее эксцентриситет.
М2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Индивидуальные задания к модулю №2
Задание 3. Найти пределы функций не используя правило Лопиталя:
Задание 4. Найти производные заданных функций:
 |
 |
у = arctg( |
 |
 |
Задание 5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:
Задание 6. Вычислить приближенное значение
,
заменив в в точке х = х0
приращение функции
дифференциалом. n =
7, a = 142, х0 =
128.
Задание 7. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y = f(x) и построить ее график.
.
Задание 8. Найти экстремум функции двух переменных z = f(x,y):
z = x3 + 2xy + y2 - 3x + 5y + 18.
Задание 9. Выполнить лабораторную работу №1.
Цель работы: Нахождение параметров приближенной зависимости между величинами методом наименьших квадратов.
Xi
1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 Yi
11 9,5 7 6 5 4,9 6,2 8,5 9 10
Индивидуальные задания к модулю №3
Задание 10. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
a)
b). Проинтегрировать по частям:
Задание 11. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл:
Задание 12. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = ax2 + px + q и прямой y = kx + b:
|
y = x2 - 3x + 1 |
y = x - 2 |
Задание 13. Выполнить лабораторную работу №2.
Цель работы: Освоение методов численного интегрирования.
З а д а н и е:
1. Вычислить
приближенно,
используя методы 2,3,4 по обобщенным
формулам (5), (7), (9) с абсолютной точностью çR(f)ç £ 0,01.
2. Полученные результаты сравнить и сделать выводы.
Используйте ЭВМ (например, Excel).
3. Постройте графики подынтегральных функций y = f(x).
М4. Дифференциальные уравнения
Индивидуальные задания к модулю №4
Задание 14. Найти общее решение дифференциального уравнения a(x)y' + b(x)y = f(x) и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0.
|
|
|
Задание 15. Найти общее решение дифференциального уравнения ay" + by' + qy = f(x) и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0, y' = y'0 при x = x0.
|
1.
|
2.
|
3. 
М5. Ряды и понятие о сходимости рядов
Индивидуальные задания к модулю №5
Задание 16. Выполнить лабораторную работу №3.
Цель работы: Исследование рядов на сходимость. Вычисления суммы ряда.
a). Исследовать на сходимость ряды:
|
|
|
Определите, какая сумма денег будет получена при инвестировании 10000 гр. в следующих ситуациях, в каждой из которых предполагаем 3% годовых:
а) в конце 1-го года при полугодовом начислении сложных процентов;
б) в конце 5-го года при полугодовом начислении сложных процентов;
в) в конце 1-го года при ежемесячном начислении сложных процентов.
b). Найти область сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала:
Задание 17.
a). Разложить по степеням x в ряд y = f(x). Указать интервал сходимости.
b). Разложить в ряд Маклорена или Тейлора функцию y = f(x) в окрестности х0:
х0
= -2.
М6. Линейная алгебра
Индивидуальные задания к модулю №6
Задание 18. Выполнить лабораторную работу №4.
Цель работы: Использование теории матриц и определителей для решения задач линейной алгебры.
З а д а н и е. 1. Решить систему линейных уравнений матричным методом :
2. Проверить, что векторы
образуют базис в R3, найти координаты вектора b в этом базисе. (Систему
решать методом Крамера или методом Гаусса).
М7. Элементы векторной алгебры
Индивидуальные задания к модулю №7
Задание
19.
Даны точки A, B, C, D. Положим а = 
, b =
.
|
A(5,6,1) |
B(6,1,4) |
C(1,2,3) |
D(2,0,2) |
Найти:
1) векторы 2а+b и а-2b;
2) модули векторов |2а+b| и |а-2b|;
3) скалярное произведение (2а+b)×(a-2b);
4) векторное произведение [(2а+b),(a-2b)];
5) угол между векторами (2а+b)×и (a-2b).
М8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ пространства
Индивидуальные задания к модулю №8
Задание 20. Даны четыре точки A, B, C и D:
|
A(1,6,7) |
B(0,6,7) |
C(-4,5,6) |
D(-4,-4,8) |
1). Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку A и имеющей нормальный вектор
;
- через точки A, B, C.
2). Вычислить расстояние от точки D до плоскости, проходящей через точки A, B, C.
3). Составить канонические и параметрические уравнения прямых, проходящих через точки A и C, а также B и D.
4). Будут ли эти прямые перпендикулярны? Параллельны?
, 
, 
